Фейнмановские лекции по физике. 2. Пространство. Время. Движение

Фейнман Ричард Филлипс

Выходит по теории относительности, что ¹/₂и ¹/₂ дают не 1, a ⁴/₅. Небольшие скорости, конечно, можно складывать, как обычно, потому что, пока скорости по сравнению со скоростью света малы, о знаменателе (1 +uv/с²) можно

забыть, но на больших скоростях положение меняется.

Возьмем предельный случай. Положим, что человек на борту корабля наблюдает, как распространяется свет. Тогда v=c. Что обнаружит земной наблюдатель? Ответ будет такой:

Значит, если что-то движется со скоростью света внутри ко­рабля, то, с точки зрения стороннего наблюдателя, скорость не изменится, она по-прежнему будет равна скорости света! Это именно то, ради чего в первую очередь предназначал Эйн­штейн свою теорию относительности.

Конечно, бывает, что движение тела не совпадает по на­правлению с равномерным движением корабля. Например, тело движется «вверх» со скоростью v_y' по отношению к ко­раблю, а корабль движется «горизонтально». Проделывая такие же манипуляции (только х надо заменить на у), получаем

y=y'=v_y't', так что при v_x'=0

Итак, боковая скорость тела уже не v_y' , a v_y'Ц(1-u²/с²). Этот результат мы получили, пользуясь формулами преобра­зований. Но он вытекает и прямо из принципа относительности по следующей причине (всегда бывает полезно докопаться до первоначальной причины). Мы уже раньше рассуждали (см. фиг. 15.3) о том, как могут работать движущиеся часы; свет ка­жется распространяющимся наискось со скоростью с в непо­движной системе, в то время как в движущейся системе он просто движется вертикально с той же скоростью. Мы нашли, что верти­кальная, компонента скорости в неподвижной системе меньше скорости света на множитель Ц(1-u²/с²) [см. уравнение (15.3)]. Пусть теперь материальная частица движется в тех же «часах» взад-вперед со скоростью, равной 1/n скорости света (фиг. 16.1).

Фиг. 16.1. Траектории светового луча и частицы внутри движущихся часов.

Пока частица пройдет туда и обратно, свет пройдет этот путь ровно nраз (n — целое число). Значит, каждое тиканье «часов с частицей» совпадет с n– м тиканьем «световых часов». Этот факт должен остаться верным и тогда, когда тело движется, потому что физическое явление совпадения остается совпа­дением в любой системе. Ну а поскольку скорость с_уменьше скорости света, то скорость v_yчастицы должна быть меньше соответствующей скорости в том же отношении (с квадратным корнем)! Вот почему в любой вертикальной скорости появ­ляется корень.

§ 4. Релятивистская масса

Из предыдущей главы мы усвоили, что масса тела растет с увеличением его скорости. Но никаких доказательств этого, похожих на те рассуждения с часами, которыми мы обосновали замедление времени, мы не привели. Сейчас, однако, мы можем доказать, что (как следствие принципа относительности и прочих разумных соображений) масса должна изменяться именно таким образом. (Мы должны говорить о «прочих сооб­ражениях» по той причине, что нельзя ничего доказать, нельзя надеяться на осмысленные выводы, не опираясь на какие-то законы, которые предполагаются верными.) Чтобы не изучать

законы преобразования силы, обратимся к столкновениям частиц. Здесь нам не понадобится закон действия силы, а хватит только предположения о сохранении энергии и импульса. Кроме того, мы предположим, что импульс движущейся ча­стицы — это вектор, всегда направленный по ее движению. Но мы не будем считать импульс пропорциональным скорости, как это делал Ньютон. Для нас он будет просто некоторой функцией скорости. Мы будем писать вектор импульса в виде вектора скорости, умноженного на некоторый коэффициент

p=m₀v. (16.8)

Индекс v у коэффициента будет напоминать нам, что это функция скорости v. Будем называть этот коэффициент «мас­сой». Ясно, что при небольших скоростях это как раз та самая масса, которую мы привыкли измерять. Теперь, исходя из того принципа, что законы физики во всех системах координат одинаковы, попробуем показать, что формула для m_vдолжна иметь вид m₀/Ц(1-v²/c²).

Пусть у нас есть две частицы (к примеру, два протона), которые между собой совершенно одинаковы и движутся на­встречу друг другу с одинаковыми скоростями. Их общий импульс равен нулю. Что с ними случится? После столкновения их направления движения должны все равно остаться противо­положными, потому что если это не так, то их суммарный вектор импульса будет отличен от нуля, т. е. не сохранится. Раз частицы одинаковы, то и скорости их должны быть оди­наковы; более того, они просто должны остаться прежними, иначе энергия при столкновении изменится. Значит, схема такого упругого обратимого столкновения будет выглядеть, как на фиг. 16.2,а: все стрелки одинаковы, все скорости равны. Предположим, что такие столкновения всегда можно подго­товить, что в них допустимы любые углы 0 и что начальные скорости частиц могут быть любыми.

Фиг. 16.2. Упругое столкновение одинаковых тел, движущихся с равными скоростями в противоположных направлениях, при раз­личном выборе систем координат.

Далее, напомним, что одно и то же столкновение выглядит по-разному, смотря по тому, как повернуты оси. Для удобства мы так повернем оси, чтобы горизонталь делила пополам угол между направлениями частиц до и после столкновения (фиг. 16.2,б). Это то же столкновение, что и на фиг. 16.2,а, но с повернутыми осями.