Фейнмановские лекции по физике. 2. Пространство. Время. Движение
Шрифт:
F=d(mv)/dt
Импульс по-прежнему равен mv, но теперь
Это законы Ньютона в записи Эйнштейна. При этом видоизменении, если действие и противодействие по-прежнему равны (может, не в каждый момент, но по крайней мере после усреднения по времени), то, как и раньше, импульс должен сохраняться, но сохраняющейся величиной является не старое mv при постоянном m, а выражение (15.10) с переменной массой. С таким изменением в формуле для импульса сохранение импульса по-прежнему будет существовать.
Посмотрим теперь, как импульс зависит от скорости. В ньютоновой механике он ей пропорционален. В релятивистской механике в большом интервале скоростей (много меньших с) они также примерно пропорциональны [см. (15.10)], потому что корень мало отличается от единицы.
Что бывает, когда на тело долгое время воздействует постоянная сила? В механике Ньютона скорость тела беспрерывно будет возрастать и может превысить даже скорость света. В релятивистской же механике это невозможно. В теории относительности беспрерывно растет не скорость тела, а его импульс, и рост этот сказывается не на скорости, а на массе тела. Со временем ускорение, т. е. изменения в скорости, практически исчезает, но импульс продолжает расти. Поскольку сила приводит к очень малым изменениям в скорости тела, мы, естественно, считаем, что у тела громадная инерция. Но как раз это самое и утверждает релятивистская формула (15.10) для массы тела; она говорит, что инерция крайне велика, когда v почти равно с. Разберем пример. Чтобы отклонить быстрые электроны в синхротроне Калифорнийского Технологического института, необходимо магнитное поле, в 2000 раз более сильное, чем следует из законов Ньютона. Иными словами, масса электронов в синхротроне в 2000 раз больше их нормальной массы, достигая массы протона! Если m в 2000 раз больше m0, то 1-v2/с2 равно 1/4 000 000, или v отличается от с на 1/8 000 000, т.е. скорость электронов вплотную подходит к скорости света. Если электроны и свет одновременно отправятся в соседнюю лабораторию (находящуюся, скажем, в 200 м), то кто явится первым? Ясное дело, свет: он всегда движется быстрее. Но насколько быстрее? Трудно сказать, насколько раньше во времени, но зато можно сказать, на какое расстояние отстанут электроны: на 1/30 мм, т. е. на 1/3 толщины этого листка бумаги! Масса электронов в этих состязаниях чудовищна, а скорость не выше скорости света.
На чем еще скажется релятивистский рост массы? Рассмотрим движение молекул газа в баллоне. Если газ нагреть, скорость молекул возрастет, а вместе с нею и их масса. Газ станет тяжелее. Насколько?
Разлагая т0/Ц(1-v2/c2)=m0(1-v2/с2)– 1/2 в ряд по формуле бинома Ньютона, можно найти приближенно рост массы при малых скоростях. Получается
Из формулы ясно, что при малых v ряд быстро сходится и первых двух-трех членов здесь вполне достаточно. Значит, можно написать
где второй член и выражает рост массы за счет повышения скорости. Когда растет температура, v2 растет в равной мере, значит, увеличение массы пропорционально повышению температуры. Но 1/2т0v2— это кинетическая энергия в старомодном, ньютоновом смысле этого слова. Значит, можно сказать, что прирост массы газа равен приросту кинетической энергии, деленной на с2, т. е. Dm=D(к.э.)/с2.
§ 9. Связь массы и энергии
Это наблюдение навело Эйнштейна на мысль, что массу тела можно выразить проще, чем по формуле (15.1), если сказать, что масса равна полному содержанию энергии в теле, деленному на с2. Если (15.11) помножить на с2, получается
mc2=m0с2+1/2m0v2+... . (15.12)
Здесь левая часть дает полную энергию тела, а в последнем члене справа мы узнаем обычную кинетическую энергию. Эйнштейн осмыслил первый член справа (очень большое постоянное число т0с2) как часть полной энергии тела, а именно как его внутреннюю энергию, или «энергию покоя».
К каким следствиям мы придем, если вслед за Эйнштейном предположим, что энергия тела всегда равна тс2? Тогда мы сможем вывести формулу (15.1) зависимости массы от скорости, ту самую, которую до сих пор мы принимали на веру. Пусть тело сперва покоится, обладая энергией т0с2. Затем мы прикладываем к телу силу, которая сдвигает его с места и поставляет ему кинетическую энергию; раз энергия примется возрастать, то начнет расти и масса (это все заложено в первоначальном предположении). Пока сила действует, энергия и масса продолжают расти. Мы уже видели (см. гл. 13), что быстрота роста энергии со временем равна произведению силы на скорость
de/dt=F·v. (15.13)
Кроме того, F=d(mv)/dt [см. гл. 9, уравнение (9.1)]. Связав все это с определением Е и подставив в (15.13), получим
Мы хотим решить это уравнение относительно m. Для этого помножим обе части на 2m. Уравнение обратится в
Теперь нам нужно избавиться от производных, т. е. проинтегрировать обе части равенства. В величине (2m) dm/dt можно узнать производную по времени от m2, а в (2mv)·d(mv)/dt— производную по времени от (mv)2. Значит, (15.15) совпадает с
Когда производные двух величин равны, то сами величины могут отличаться не больше чем на константу С. Это позволяет написать
m2с2=m2v2+C. (15.17)
Определим теперь константу С явно. Так как уравнение (15.17) должно выполняться при любых скоростях, то можно взять v=0 и обозначить в этом случае массу через m0. Подстановка этих чисел в (15.17) дает
m20c2=0+С.
Это значение С теперь можно подставить в уравнение (15.17). Оно принимает вид
m2c2=m2v2+m20c2. (15.18)
Разделим на с2 и перенесем члены с m в левую часть
m2(1-v2/c2)=m20,
откуда
А это и есть формула (15.1), т. е. как раз то, что необходимо, чтобы в уравнении (15.12) было соответствие между массой и энергией.
В обычных условиях изменения в энергии приводят к очень малым изменениям в массе: почти никогда не удается из данного количества вещества извлечь много энергии; но в атомной бомбе с энергией взрыва, эквивалентной 20 000 тонн тринитротолуола, весь пепел, осевший после взрыва, на 1 г легче первоначального количества расщепляющегося материала. Это потому, что выделилась энергия, которая имела массу 1 г, в согласии с формулой DE=D(mc2). Вывод об эквивалентности массы и энергии прекрасно подтвердился в опытах по аннигиляции материи — превращению вещества в энергию. Электрон с позитроном могут взаимодействовать в покое, имея каждый массу покоя m0. При сближении они исчезают, а вместо них излучаются два g-луча, каждый опять с энергией т0с2. Этот опыт прямо сообщает нам о величине энергии, связанной с существованием массы покоя у частицы.