Фейнмановские лекции по физике. 4. Кинетика. Теплота. Звук

Фейнман Ричард Филлипс

Еще один пример: излучение черного тела. Мы уже гово­рили об ящике, содержащем излучение и ничего больше, и уже толковали о равновесии между излучением и осциллятором.

Мы выяснили также, что когда фотоны ударяются о стенки ящи­ка, они создают давление Р. Мы вывели формулу PV=U/3, где U — полная энергия фотонов, а V — объем ящика. Если под­ставить U=3РV в основное уравнение (45.7),то обнаружится, что

Поскольку объем ящика не изменяется, можно заменить (дP/дT)_{Vна dP/dT и получить обыкновенное дифференциальное уравне­ние. Оно легко интегрируется и дает lnP=4lnT+const, или Р=const·T⁴. Давление излучения изменяется как четвертая степень температуры, поэтому заключенная в излучении энер­гия U/V=P/3 тоже меняется как T⁴. Обычно пишут так: U/V=(4s/с)T⁴, где с — скорость света, а s— другая посто­янная. Термодинамика сама по себе ничего не скажет нам об этой постоянной. Это хороший пример и ее могущества, и ее бес­силия. Знать, что U/V изменяется как T⁴, — это уже большое дело, но узнать, чему именно равно U/V при той или иной тем­пературе, можно, только разобравшись в деталях полной тео­рии. У нас есть теория излучения черного тела и сейчас мы вы­числим а.}

Пусть I(w)dw — распределение интенсивности, иначе говоря, поток энергии через 1 м²за 1 сек в интервале частот между w и w+dw:

Распределение плотности энергии =

поэтому

U/V=Полная плотность энергии,

(Плотность энергии между w и w+dw),

Мы уже успели узнать, что

Подставляя выражение для I (w) в наше уравнение для U/V, получаем

Если сделать замену переменных x=hw/kT, то это выраже­ние примет вид

Этот интеграл — просто-напросто какое-то число, и мы можем найти его приближенно. Для этого надо лишь вычертить подын­тегральную кривую и подсчитать площадь под ней. Она прибли­зительно равна 6,5. Математики могут вычислить наш интеграл точно, он равен p⁴/15. Сравнивая это выражение с записан­ным ранее U/V=(4s/с)T⁴, мы найдем s:

Много ли энергии утечет за 1 сек из дырки единичной пло­щади, проделанной в стенке ящика? Чтобы найти поток энер­гии, умножим плотность энергии U/V на с. Еще нужно умножить на ¹/₄; эта четверть набегает вот по каким причинам. Во-первых, ^l/₂появляется из-за того, что мы вычисляем только вырвавшу­юся наружу энергию, и, во-вторых, если поток подходит к дыр­ке не под прямым углом, то вырваться ему труднее; это умень­шение эффективности учитывается умножением на косинус угла с нормалью. Среднее значение косинуса равно ¹/₂. Теперь понятно, почему мы писали U/V=(4s/c)T⁴: так проще выразить поток энергии сквозь маленькую дырку; если отнести поток к единичной площади, то он равен просто sT⁴.

* Поскольку (e ^x – 1) ^{– 1} =е ^{– x} +е ^{– 2 x} +..., то интеграл равен

Но

, поэтому, дифференцируя три раза по n, мы получаем

, так что интеграл равен 6 (1+ ¹ / ₁₆ + ¹ / ₈₁ +...), и несколько первых членов ряда дают уже хорошее приближение. В гл. 50 мы сможем показать, что сумма обратных четвертых степеней целых чисел равна p ⁵ /90.