Еще один пример: излучение черного тела. Мы уже говорили об ящике, содержащем излучение и ничего больше, и уже толковали о равновесии между излучением и осциллятором.
Мы выяснили также, что когда фотоны ударяются о стенки ящика, они создают давление Р. Мы вывели формулу PV=U/3, где U — полная энергия фотонов, а V — объем ящика. Если подставить U=3РV в основное уравнение (45.7),то обнаружится, что
Поскольку объем ящика не изменяется, можно заменить (дP/дT)Vна dP/dT и
получить обыкновенное дифференциальное уравнение. Оно легко интегрируется и дает lnP=4lnT+const, или Р=const·T4. Давление излучения изменяется как четвертая степень температуры, поэтому заключенная в излучении энергия U/V=P/3 тоже меняется как T4. Обычно пишут так: U/V=(4s/с)T4, где с — скорость света, а s— другая постоянная. Термодинамика сама по себе ничего не скажет нам об этой постоянной. Это хороший пример и ее могущества, и ее бессилия. Знать, что U/V изменяется как T4, — это уже большое дело, но узнать, чему именно равно U/V при той или иной температуре, можно, только разобравшись в деталях полной теории. У нас есть теория излучения черного тела и сейчас мы вычислим а.
Пусть I(w)dw — распределение интенсивности, иначе говоря, поток энергии через 1 м2за 1 сек в интервале частот между w и w+dw:
Распределение плотности энергии =
поэтому
U/V=Полная плотность энергии,
(Плотность энергии между w и w+dw),
Мы уже успели узнать, что
Подставляя выражение для I (w) в наше уравнение для U/V, получаем
Если сделать замену переменных x=hw/kT, то это выражение примет вид
Этот интеграл — просто-напросто какое-то число, и мы можем найти его приближенно. Для этого надо лишь вычертить подынтегральную кривую и подсчитать площадь под ней. Она приблизительно равна 6,5. Математики могут вычислить наш интеграл точно, он равен p4/15. Сравнивая это выражение с записанным ранее U/V=(4s/с)T4, мы найдем s:
Много ли энергии
утечет за 1 сек из дырки единичной площади, проделанной в стенке ящика? Чтобы найти поток энергии, умножим плотность энергии U/V на с. Еще нужно умножить на 1/4; эта четверть набегает вот по каким причинам. Во-первых, l/2появляется из-за того, что мы вычисляем только вырвавшуюся наружу энергию, и, во-вторых, если поток подходит к дырке не под прямым углом, то вырваться ему труднее; это уменьшение эффективности учитывается умножением на косинус угла с нормалью. Среднее значение косинуса равно 1/2. Теперь понятно, почему мы писали U/V=(4s/c)T4: так проще выразить поток энергии сквозь маленькую дырку; если отнести поток к единичной площади, то он равен просто sT4.
* Поскольку (ex– 1)– 1 =е– x+е– 2x +..., то интеграл равен
Но
, поэтому, дифференцируя три раза по n, мы получаем
, так что интеграл равен 6 (1+1/16+1/81+...), и несколько первых членов ряда дают уже хорошее приближение. В гл. 50 мы сможем показать, что сумма обратных четвертых степеней целых чисел равна p5/90.