Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред

Фейнман Ричард Филлипс

Если это уравнение проинтегрировать по х по всей области 3, то мы придем к заключению, что

e₀(Е_x2– Е_x1)=-(Р_x2– Р_x1). (33.25)

Другими

словами, скачок e₀Е_хпри переходе от области 1 к об­ласти 2 должен быть равен скачку —Р_х.

Уравнение (33.25) можно переписать в виде

e₀E_x2+Р_x2=e₀E_x1+Р_x1; (33.26)

оно гласит, что величина (e₀E_x+Р_x) имеет равные значения как в области 2, так и в области 1. В таких случаях люди гово­рят, что величина (e₀Е_x+Р_х) непрерывна на границе. Таким образом, мы получили одно из наших граничных условий.

Хотя в качестве иллюстрации мы взяли случай, когда зна­чение Р₁ равно нулю, ибо в области 1 у нас был вакуум, ясно, что те же аргументы приложимы для любого материала в этих двух областях, так что уравнение (33.26) верно в общем случае. Давайте перейдем к остальным уравнениям Максвелла и по­смотрим, что скажет нам каждое из них. Следующим мы возьмем уравнение (33.22а). У него нет производной по х, так что оно ничего нам не говорит. (Вспомните, что на границе сами поля не особенно велики. Только их производные по х могут стать столь огромными, что будут доминировать в уравнении.) Взгля­нем теперь на уравнение (33.22.б). Смотрите! Именно здесь у нас есть производная по х! С левой стороны имеется дE_z/дx. Пред­положим, что эта производная громадна. Но минуточку терпе­ния! С правой стороны нет ничего, способного потягаться с ней, поэтому Е_z не может иметь скачка при переходе из области 1 к области 2. [Если бы это было так, то с левой стороны уравне­ния (33.22а) мы бы получили скачок, а с правой — его не было бы, и уравнение оказалось бы неверным.] Итак, мы получили новое условие:

E_я2=E_я1. (33.27)

После тех же самых рассуждений уравнение (33.22в) дает

E_y2=E_y1. (33.28)

Последний результат в точности совпадает с полученным с по­мощью контурного интеграла условием (33.20).

Перейдем к уравнению (33.23). Единственное, что может дать пик,— это дВ_х/дх. Но справа опять нет ничего, способного противостоять ему; в результате мы заключаем, что

B_x2=B_x1. (33.29)

И, наконец, последнее из уравнений Максвелла! Уравнение (33.24а) ничего не дает, ибо там нет производных по х. В урав­нении (33.236) — одна производная: — с²(дВ_z/дх), но

ей снова нечего противопоставить с другой стороны равенства, поэтому мы получаем

B_z1=B_z2. (33.30)

Совершенно аналогично второе уравнение, которое дает

B_y1=B_y2. (33.31)

Итак, последние три условия говорят нам, что В₂=В₁.

Хочу здесь подчеркнуть, что такой результат получен только потому, что по обеим сторонам границы мы взяли немагнитный материал, вернее, потому, что магнитным эффектом этих мате­риалов мы можем пренебречь. Обычно это вполне допустимо для большинства материалов, за исключением ферромагнетиков. (Магнитные свойства материалов мы будем рассматривать в по­следующих главах.).

Наша программа привела нас к шести соотношениям между полями в областях 1 и 2. Все они выписаны в табл. 33.1. Их можно использовать для согласования волн в двух областях.

Таблица 33.1 · граничные условия на поверхности ДИЭЛЕКТРИКА

(Поверхность расположена в плоскости yz.)

Однако я хочу отметить, что идея, которую мы только что использовали, будет работать в любой физической ситуации, где у вас есть дифференциальные уравнения и требуется найти решение в области, пересекаемой резкой границей, по обе стороны которой некоторые из физических свойств различны. Для наших теперешних целей было бы легче получить те же самые уравнения с помощью рассуждений о потоках и циркуляциях на границе. (Проверьте, можно ли подобным путем по­лучить те же самые результаты.) Однако теперь вы знаете метод, который будет хорош, даже когда вы попали в затруднительное положение и не видите простых физических соображений от­носительно того, что происходит на границе. Вы можете просто воспользоваться дифференциальными уравнениями.

§ 4. Отраженная и преломленная волны

Теперь мы готовы применить наши граничные условия к вол­нам, перечисленным в § 2, где мы получили:

Нами получены еще кое-какие сведения: вектор Е перпендику­лярен для каждой волны вектору распространения k.

Полученный результат будет зависеть от направления век­тора Е («поляризации») в падающей волне. Анализ сильно упро­стится, если мы рассмотрим отдельно случай, когда вектор Е параллелен «плоскости падения» (т. е. плоскости ху), и случай, когда он перпендикулярен к ней. Волна с любой другой поляри­зацией будет просто линейной комбинацией этих волн. Другими словами, отраженные и преломленные интенсивности для различных поляризаций будут разными и легче всего отобрать два простейших случая и отдельно рассмотреть их.

Я подробно проанализирую случай падающей волны, пер­пендикулярной к плоскости падения, а потом просто опишу вам, что получается в других случаях. Я немного жульничаю, рас­сматривая простейший пример, однако в обоих случаях прин­цип один и тот же. Итак, мы считаем, что вектор Е_i имеет только z-компоненту, а поскольку все векторы Е смотрят в одном и том же направлении, векторный значок можно опустить.

Оба материала изотропны, поэтому вынужденные колеба­ния зарядов в материале будут происходить в направлении оси z и у полей Е в преломленной и отраженной волнах тоже будет только одна z-компонента. Таким образом, для всех волн Е_х и Е_y , Р_хи Р_yравны нулю. Направления векторов Е и В в этих волнах показаны на фиг. 33.6.