Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред

Фейнман Ричард Филлипс

Е _х =Е ₀ е ^{– i w ( t – nz / c )} .

Если подставить n в виде

выражения (32.35), то мы получим

и с увеличением z она экспоненциально убывает. График напря­женности электрического поля как функции от z в некоторый момент времени и для n_I» n_R/2p показан на фиг. 32.1.

Фиг. 32.1. График поля Е_х в некоторый момент t при n_I»n_R2/p.

Мнимая часть показателя преломления из-за потерь энергии в атомных осцилляторах приводит к ослаблению волны. Интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды, так что

Интенсивность ~е^{– 2wnIz/c.}

Часто это записывается как

Интенсивность ~е^{– bz},

где b=2wn_I/с — коэффициент поглощения. Таким образом, в уравнении (32.33) содержится не только теория показателя преломления вещества, но и теория поглощения им света.

В тех материалах, которые мы обычно считаем прозрачными, величина c/wn_I, имеющая размерность длины, оказывается гораздо больше толщины материала.

§ 5. Показатель преломления смеси

В нашей теории показателя преломления имеется еще одно предсказание, которое можно проверить экспериментально. Предположим, что мы рассматриваем смесь двух материалов. Показатель преломления смеси не будет средним двух показа­телей, а определяется через сумму двух поляризуемостей, как в уравнении (32.34). Если, скажем, мы интересуемся показа­телем преломления раствора сахара, то полная поляризуемость будет суммой поляризуемостей воды и сахара. Но каждая из них, разумеется, должна подсчитываться исходя из данных о числе молекул N данного сорта в единице объема. Другими сло­вами, если в данном растворе содержится N₁молекул воды, поляризуемость которой a₁, и N₂молекул сахарозы (C₁₂H₂₂O₁₁), поляризуемость которой a₂, то мы должны получить

Этой формулой можно воспользоваться для экспериментальной проверки нашей теории — измерения показателя для различ­ных концентраций сахарозы в воде. Однако здесь мы должны сделать несколько допущений. Наша формула предполагает, что при растворении сахарозы никакой химической реакции не происходит и что возмущение индивидуальных осцилляторов при различных частотах отличается не слишком сильно. Поэ­тому наш результат, безусловно, будет только приближенным. Тем не менее давайте посмотрим, насколько он хорош.

Раствор сахара мы выбрали потому, что мы располагаем хорошими данными измерений показателя преломления и, кроме того, сахар представляет собой молекулярный кристалл и переходит в раствор без ионизации и других изменений хими­ческого состояния.

В первых трех столбцах табл. 32.2 приведены данные из указанного справочника. В столбце А дан процент сахарозы по весу, в столбце В приведена измеренная плотность в г/см³, а в столбце С даны измерения показателя преломления света с длиной волны 589,3 ммк. В качестве показателя чистого сахара мы взяли результаты измерений для кристалла сахара. Эти кристаллы не изотропны, так что показатель преломления в разных направлениях различен.

Таблица 32.2 в ПОКАЗАТЕЛЬ ПРЕЛОМЛЕНИЯ РАСТВОРА САХАРА И СРАВНЕНИЕ С ПРЕДСКАЗАНИЕМ УРАВНЕНИЯ (32.37)

Справочник дает три вели­чины:

n₁=1,5376, n₂=1,5651, n₃=1,5705.

Мы взяли среднее.

Попытаемся теперь подсчитать n для каждой концентрации, но мы не знаем, какие нужно взять значения a₁ и a₂. Проверим теорию таким способом: будем предполагать, что поляризуемость воды (a₁) при всех концентрациях одна и та же, и подсчитаем поляризуемость сахарозы, используя экспериментальную ве­личину n и разрешая (32.37) относительно a₂. Если теория верна, то мы для любой концентрации должны получить одно и то же значение a₂.

Прежде всего нам нужно знать числа N₁и N₂; выразим их через число Авогадро N₀. В качестве нашей единицы объема давайте возьмем один литр (1000 см³). Тогда отношение N_i/N₀ равно весу одного литра, поделенному на грамм-молекулу. А вес литра равен произведению плотности (умноженной на 1000, чтобы получить граммы) на весовую долю либо сахарозы, либо воды. Таким путем получаем N₂//N₀и n₁/n₀, записанные в столбцах D и Е нашей таблицы. В столбце F мы подсчитали 3(n²– 1)/(n²+2), исходя из экспериментальных значений n (столбец С). Для чистой воды 3(n²– 1)/(n²+2) равно 0,617, что как раз будет N₁a₁. Затем мы можем заполнить остальную часть колонки G, поскольку для каждой строки отношение G/E должно быть одной и той же величиной, именно 0,617:55,5. Вычитая столбец G из столбца F, находим вклад N₂a₂, вносимый сахарозой, который записан в столбце Н. А затем, поделив эти данные на величину N₂/N₀ из столбца D, мы получаем величину N₀a₂, приведенную в столбце 1.

Из нашей теории мы ожидали, что все величины N₀a₂должны получиться одинаковыми. Они получились хотя и не точно равными, но довольно близкими друг к другу. Отсюда можно заключить, что наши идеи правильны. Более того, мы нашли, что поляризуемость молекул сахара, по-видимому, не зависит сильно от ее окружения: их поляризуемость приблизительно одна и та же как в разбавленном растворе, так и в кристалле.

§ 6. Волны в металлах

Теорию, которая в этой главе развивалась для твердых мате­риалов, после очень небольшой модификации вполне можно применить и к хорошим проводникам типа металлов. На неко­торые из электронов в металлах не действует сила, привязы­вающая их к какому-то частному атому; это так называемые «свободные» электроны, ответственные за проводимость. Там есть и другие электроны, которые связаны в атомах, и изложен­ная выше теория непосредственно приложима именно к ним. Однако их влияние обычно «забивается» эффектами электронов проводимости. Поэтому сейчас мы рассмотрим только эффекты