Чтение онлайн

на главную

Жанры

Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред
Шрифт:

где eiэлектрическое поле, a Pijkпьезоэлектрические коэф­фициенты (пьезомодули), составляющие тензор. Можете ли вы сами доказать, что если у кристалла есть центр инверсии (т. е. если он инвариантен относительно замены х, у, z®-х,-y,-z), то все его пьезоэлектрические коэффициенты равны нулю.

§ 8. Четырехмерный тензор электро­магнитного импульса

Все тензоры, с которыми мы сталкивались в этой главе, были связаны с трехмерным пространством; они определялись как величины, имеющие известные трансформационные свойства при пространственных

поворотах. А вот в гл. 26 (вып. 6) мы имели возможность воспользоваться тензором в четырехмерном про­странстве-времени: это был тензор электромагнитного поля Fmv. Компоненты такого четырехмерного тензора особым образом преобразуются при преобразованиях Лоренца. (Мы этого, прав­да, не делали, но могли бы рассматривать преобразования Ло­ренца как своего рода «вращение» в четырехмерном «простран­стве», называемом пространством Минковского; тогда аналогия с тем, что мы рассматривали здесь, была бы ярче.)

В качестве последнего примера мы хотим рассмотреть дру­гой тензор в четырех измерениях (t, x, y, z) теории относитель­ности. Когда мы говорили о тензоре напряжений, то опреде­ляли Sijкак компоненту силы, действующую на единичную площадку. Но сила равна скорости изменения импульса со временем. Поэтому вместо того, чтобы говорить «Sxy — это х-компонента силы, действующей на единичную площадку, пер­пендикулярную оси у», мы с равным правом могли бы сказать: «Sxy — это скорость потока x-компоненты импульса через еди­ничную площадку, перпендикулярную оси у». Другими словами, каждый член Sij представляет поток i-й компоненты импульса через единичную площадку, перпендикулярную оси j. Так обстоит дело с чисто пространственными компонентами, но они составляют только часть «большего» тензора Smvв четырехмер­ном пространстве m. и v=t, x, у, z), содержащего еще дополни­тельные компоненты Stx, S yt, Sttи т. п. Попытаемся теперь выяс­нить физический смысл этих дополнительных компонент.

Нам известно, что пространственные компоненты представ­ляют поток импульса. Чтобы найти ключ к распространению этого понятия на «временное направление», обратимся к «по­току» другого рода — потоку электрического заряда. Скорость потока скалярной величины, подобной заряду (через единичную площадь, перпендикулярную потоку), является пространствен­ным вектором — вектором плотности тока j. Мы видели, что временная компонента вектора потока — это плотность теку­щего вещества. Например, j можно скомбинировать с плотно­стью заряда jt=r и получить четырехвектор jm=(r, j), т. е. значок m у вектора jm принимает четыре значения: t, х, у, z. Это означает «плотность», «скорость потока в x-направлении», «скорость потока в y-направлении» и «скорость потока в z-направлении» скалярного заряда.

Теперь по аналогии с нашим утверждением о временной ком­поненте потока скалярной величины можно ожидать, что вместе c Sxx,Sxyи Sxz, описывающими поток x-компоненты импульса, должна быть и временная компонента Sxt, которая по идее дол­жна бы описывать плотность того, что течет, т. е. Sxtдолжна быть плотностью х-компоненты импульса. Таким образом, мы можем расширить наш тензор по горизонтали, включив в него t-компоненты, и в нашем распоряжении оказываются:

Sxtплотность x-компоненты импульса,

Sxxпоток z-компоненты импульса в направлении

оси х,

Sxyпоток y-компоненты импульса в направлении оси у,

Sxzпоток z-компоненты импульса в направлении оси z.

Аналогичная вещь происходит и с y-компонентой; у нас есть три компоненты потока: Syx, Syyи Syz, к которым нужно добавить четвертый член:

Sytплотность y-компоненты импульса,

а к трем компонентам Szx, Szyи Szzмы добавляем

Sztплотность z-компоненты импульса.

В четырехмерном пространстве у импульса существует также и t-компонента, которой, как мы знаем, является энер­гия. Так что тензор Sijследует продолжить по вертикали с включением в него Stx, Styи Stz, причем

Stxпоток энергии в направлении оси х, Styпоток энергии в направлении оси у, (31.28) Stzпоток энергии в направлении оси z,

т. е. Stx— это поток энергии в единицу времени через поверх­ность единичной площади, перпендикулярную оси х, и т. д. Наконец, чтобы пополнить наш тензор, нужна еще величина Stt, которая должна быть плотностью энергии. Итак, мы расширили наш трехмерный тензор напряжений до четырехмерного тензора энергии-импульса Smv. Индекс m может принимать четыре зна­чения: t, х, у и z, которые означают «плотность», «поток через единичную площадь в направлении оси х», «поток через единич­ную площадь в направлении оси y» и «поток через единичную площадь в направлении оси z». Значок v тоже принимает четы­ре значения: t, х, у, z, которые говорят нам, что же именно течет: «энергия», x-компонента импульса», «y-компонента им­пульса» или же «z-компонента импульса».

В качестве примера рассмотрим этот тензор не в веществе, а в пустом пространстве с электромагнитным полем. Вы знаете, что поток энергии электромагнитного поля описывается век­тором Пойнтинга S=e0c2EXВ. Так что х-, у- иz-компоненты вектора S с релятивистской точки зрения являются компонентами: Six, Stни Stzнашего тензора энергии-импульса. Симметрия тензора Sijпереносится и на временные компоненты, так что четы­рехмерный тензор Smv тоже симметричен:

Поделиться:
Популярные книги

Лисья нора

Сакавич Нора
1. Всё ради игры
Фантастика:
боевая фантастика
8.80
рейтинг книги
Лисья нора

Последний Паладин. Том 4

Саваровский Роман
4. Путь Паладина
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Последний Паладин. Том 4

В теле пацана

Павлов Игорь Васильевич
1. Великое плато Вита
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
5.00
рейтинг книги
В теле пацана

Последний Паладин. Том 7

Саваровский Роман
7. Путь Паладина
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Последний Паладин. Том 7

Возвышение Меркурия. Книга 5

Кронос Александр
5. Меркурий
Фантастика:
боевая фантастика
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Возвышение Меркурия. Книга 5

Попаданка для Дракона, или Жена любой ценой

Герр Ольга
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
7.17
рейтинг книги
Попаданка для Дракона, или Жена любой ценой

Кровь, золото и помидоры

Распопов Дмитрий Викторович
4. Венецианский купец
Фантастика:
альтернативная история
5.40
рейтинг книги
Кровь, золото и помидоры

Измена. Ребёнок от бывшего мужа

Стар Дана
Любовные романы:
современные любовные романы
5.00
рейтинг книги
Измена. Ребёнок от бывшего мужа

Новик

Ланцов Михаил Алексеевич
2. Помещик
Фантастика:
альтернативная история
6.67
рейтинг книги
Новик

Истребители. Трилогия

Поселягин Владимир Геннадьевич
Фантастика:
альтернативная история
7.30
рейтинг книги
Истребители. Трилогия

Я все еще граф. Книга IX

Дрейк Сириус
9. Дорогой барон!
Фантастика:
боевая фантастика
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Я все еще граф. Книга IX

Бальмануг. (не) Баронесса

Лашина Полина
1. Мир Десяти
Фантастика:
юмористическое фэнтези
попаданцы
5.00
рейтинг книги
Бальмануг. (не) Баронесса

Ночь со зверем

Владимирова Анна
3. Оборотни-медведи
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.25
рейтинг книги
Ночь со зверем

Случайная жена для лорда Дракона

Волконская Оксана
Фантастика:
юмористическая фантастика
попаданцы
5.00
рейтинг книги
Случайная жена для лорда Дракона