Чтение онлайн

на главную - закладки

Жанры

Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред
Шрифт:

Тензор dijчасто называют также «символом Кронекера». Для забавы вы можете доказать, что тензор (31.14) после замены одной прямоугольной системы координат на другую будет иметь в точности ту же самую форму. Тензор поляризуемости типа (31.13) дает

т. е. получается наш старый результат для изотропного диэлек­трика:

Р=aЕ.

Форму и ориентацию эллипсоида поляризуемости иногда можно связать со свойствами симметрии кристалла. В гл. 30 мы уже говорили, что трехмерная решетка имеет 230 различных возможных внутренних симметрии и что для многих целей их удобно разбить на 7 классов в соответствии с формой элемен­тарной ячейки. Эллипсоид поляризуемости должен отражать геометрию внутренней

симметрии кристалла. Например, триклинный кристалл имеет самую низкую симметрию; у него все три оси эллипсоида разные и направления их, вообще говоря, не совпадают с направлением осей кристалла. Более симмет­ричный моноклинный кристалл обладает той особенностью, что его свойства не меняются при повороте кристалла на 180° от­носительно одной оси, поэтому тензор поляризуемости при таком повороте должен остаться тем же самым. Отсюда следует, что эллипсоид поляризуемости при повороте на 180° должен перехо­дить сам в себя. Но такое может случиться только, когда одна из осей эллипсоида совпадет с направлением оси симметрии кристалла. В других же отношениях ориентация и размеры эллипсоида могут быть какими угодно.

Оси эллипсоида ромбического кристалла должны совпадать с кристаллическими осями, так как вращение такого кристалла на 180° вокруг любой оси повторяет ту же кристаллическую решетку. Если же взять тетрагональный кристалл, то эллип­соид тоже должен повторять его симметрию, т. е. два из его диаметров должны быть равны между собой. Наконец, для ку­бического кристалла равными должны быть все три диаметра эллипсоида — он превращается в сферу и поляризуемость кристалла одинакова во всех направлениях.

Существует очень серьезная игра, состоящая в выяснении всех возможных свойств тензоров для всех возможных симмет­рии кристалла. Она мудрено называется «теоретико-групповым анализом». Однако для простых случаев тензора поляризуемо­сти увидеть, какова должна быть эта связь, относительно легко.

§ 4. Другие тензоры; тензор инерции

В физике есть еще немало других примеров тензоров. В ме­талле, например, или каком-либо другом проводнике зачастую оказывается, что плотность тока j приблизительно пропорцио­нальна электрическому полю Е, причем константа пропорцио­нальности называется проводимостью s

j=sЕ.

Однако для кристалла соотношение между j и Е более сложно, проводимость в различных направлениях не одинакова. Она становится тензором, поэтому мы пишем

Другим примером физического тензора является момент инерции. В гл. 18 (вып. 2) мы видели, что момент количества движения L твердого тела, вращающегося относительно фикси­рованной оси, пропорционален угловой скорости w, и коэффи­циент пропорциональности I мы назвали моментом инерции:

L = Iw.

Момент инерции тела произвольной формы зависит от его ориен­тации относительно оси вращения. Моменты инерции прямо­угольного бруска, например, относительно каждой из трех ортогональных осей будут разными. Но угловая скорость со и момент количества движения L — оба векторы. Для враще­ния относительно одной из осей симметрии они параллельны. Но если моменты инерции относительно каждой из трех главных осей различны, то направления to и L, вообще говоря, не сов­падают (фиг. 31.4).

Фиг. 31.4. Момент количества движения Lтвер­дого предмета, вообще говоря, не параллелен векто­ру угловой скорости w.

Они связаны точно таким же образом, как Е и Р, т. е. мы должны писать:

Девять коэффициентов Iij называют тензором инерции. По ана­логии с поляризацией кинетическая энергия для любого мо­мента количества движения должна быть некоторой квадратич­ной формой компонент wx, wy и wz:

Мы

можем снова воспользоваться этим выражением для опре­деления эллипсоида инерции. Кроме того, снова можно восполь­зоваться энергетическими соображениями и показать, что этот тензор симметричен, т. е. Iij=Iji.

Тензор инерции твердого тела можно написать, если извест­на форма тела. Нам нужно только выписать полную кинетиче­скую энергию всех частиц тела. Частица с массой m и скоростью v обладает кинетической энергией 1/2mv2, а полная кинетиче­ская энергия равна просто сумме

S1/2mv2

по всем частицам тела. Но скорость v каждой частицы связана с угловой скоростью wтвердого тела. Предположим, что тело вращается относительно центра масс, который мы будем счи­тать покоящимся. Если при этом r — положение частицы отно­сительно центра масс, то ее скорость v задается выражением wXr. Поэтому полная кинетическая энергия равна

к. э.=S1/2m(wX г)2. (31.18)

Единственное, что нужно теперь сделать,— это переписать wXr через компоненты wх, wy , wz и координаты х, у, z, а за­тем сравнить результат с уравнением (31.17); приравнивая коэффициенты, найдем Iij. Проделывая всю эту алгебру, мы пишем:

Умножая это уравнение на m/2, суммируя по всем частицам и сравнивая с уравнением (31.17), мы видим, что Ixx, напри­мер, равно

Это и есть та формула для момента инерции тела относительно оси х, которую мы получали уже раньше (гл. 19, вып. 2).

Ну а поскольку r2 =x2+y2+z2, то эту же формулу можно написать в виде

Ixx=Sm(r2– x2). Выписав остальные члены тензора инерции, получим

Если хотите, его можно записать в «тензорных обозначе­ниях»:

где через ri обозначены компоненты (х, у, z) вектора положе­ния частицы, а 2 означает суммирование по всем частицам. Таким образом, момент инерции есть тензор второго ранга, элементы которого определяются свойствами тела и который связывает момент количества движения L с угловой ско­ростью w:

Поделиться:
Популярные книги

Невеста

Вудворт Франциска
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
эро литература
8.54
рейтинг книги
Невеста

Энфис 4

Кронос Александр
4. Эрра
Фантастика:
городское фэнтези
рпг
аниме
5.00
рейтинг книги
Энфис 4

Игрок, забравшийся на вершину. Том 8

Михалек Дмитрий Владимирович
8. Игрок, забравшийся на вершину
Фантастика:
фэнтези
рпг
5.00
рейтинг книги
Игрок, забравшийся на вершину. Том 8

Папина дочка

Рам Янка
4. Самбисты
Любовные романы:
современные любовные романы
5.00
рейтинг книги
Папина дочка

Чужое наследие

Кораблев Родион
3. Другая сторона
Фантастика:
боевая фантастика
8.47
рейтинг книги
Чужое наследие

Идеальный мир для Социопата 7

Сапфир Олег
7. Социопат
Фантастика:
боевая фантастика
6.22
рейтинг книги
Идеальный мир для Социопата 7

Восход. Солнцев. Книга VIII

Скабер Артемий
8. Голос Бога
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Восход. Солнцев. Книга VIII

Аномальный наследник. Том 1 и Том 2

Тарс Элиан
1. Аномальный наследник
Фантастика:
боевая фантастика
альтернативная история
8.50
рейтинг книги
Аномальный наследник. Том 1 и Том 2

Мир-о-творец

Ланцов Михаил Алексеевич
8. Помещик
Фантастика:
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Мир-о-творец

Совок 9

Агарев Вадим
9. Совок
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
7.50
рейтинг книги
Совок 9

Инцел на службе демоницы 1 и 2: Секса будет много

Блум М.
Инцел на службе демоницы
Фантастика:
фэнтези
5.25
рейтинг книги
Инцел на службе демоницы 1 и 2: Секса будет много

Кодекс Крови. Книга Х

Борзых М.
10. РОС: Кодекс Крови
Фантастика:
фэнтези
юмористическое фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Кодекс Крови. Книга Х

Бальмануг. (Не) Любовница 2

Лашина Полина
4. Мир Десяти
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.00
рейтинг книги
Бальмануг. (Не) Любовница 2

Любовь Носорога

Зайцева Мария
Любовные романы:
современные любовные романы
9.11
рейтинг книги
Любовь Носорога