Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред
Шрифт:
Тензор dijчасто называют также «символом Кронекера». Для забавы вы можете доказать, что тензор (31.14) после замены одной прямоугольной системы координат на другую будет иметь в точности ту же самую форму. Тензор поляризуемости типа (31.13) дает
т. е. получается наш старый результат для изотропного диэлектрика:
Р=aЕ.
Форму и ориентацию эллипсоида поляризуемости иногда можно связать со свойствами симметрии кристалла. В гл. 30 мы уже говорили, что трехмерная решетка имеет 230 различных возможных внутренних симметрии и что для многих целей их удобно разбить на 7 классов в соответствии с формой элементарной ячейки. Эллипсоид поляризуемости должен отражать геометрию внутренней
Оси эллипсоида ромбического кристалла должны совпадать с кристаллическими осями, так как вращение такого кристалла на 180° вокруг любой оси повторяет ту же кристаллическую решетку. Если же взять тетрагональный кристалл, то эллипсоид тоже должен повторять его симметрию, т. е. два из его диаметров должны быть равны между собой. Наконец, для кубического кристалла равными должны быть все три диаметра эллипсоида — он превращается в сферу и поляризуемость кристалла одинакова во всех направлениях.
Существует очень серьезная игра, состоящая в выяснении всех возможных свойств тензоров для всех возможных симметрии кристалла. Она мудрено называется «теоретико-групповым анализом». Однако для простых случаев тензора поляризуемости увидеть, какова должна быть эта связь, относительно легко.
§ 4. Другие тензоры; тензор инерции
В физике есть еще немало других примеров тензоров. В металле, например, или каком-либо другом проводнике зачастую оказывается, что плотность тока j приблизительно пропорциональна электрическому полю Е, причем константа пропорциональности называется проводимостью s
j=sЕ.
Однако для кристалла соотношение между j и Е более сложно, проводимость в различных направлениях не одинакова. Она становится тензором, поэтому мы пишем
Другим примером физического тензора является момент инерции. В гл. 18 (вып. 2) мы видели, что момент количества движения L твердого тела, вращающегося относительно фиксированной оси, пропорционален угловой скорости w, и коэффициент пропорциональности I мы назвали моментом инерции:
L = Iw.
Момент инерции тела произвольной формы зависит от его ориентации относительно оси вращения. Моменты инерции прямоугольного бруска, например, относительно каждой из трех ортогональных осей будут разными. Но угловая скорость со и момент количества движения L — оба векторы. Для вращения относительно одной из осей симметрии они параллельны. Но если моменты инерции относительно каждой из трех главных осей различны, то направления to и L, вообще говоря, не совпадают (фиг. 31.4).
Фиг. 31.4. Момент количества движения Lтвердого предмета, вообще говоря, не параллелен вектору угловой скорости w.
Они связаны точно таким же образом, как Е и Р, т. е. мы должны писать:
Девять коэффициентов Iij называют тензором инерции. По аналогии с поляризацией кинетическая энергия для любого момента количества движения должна быть некоторой квадратичной формой компонент wx, wy и wz:
Мы можем снова воспользоваться этим выражением для определения эллипсоида инерции. Кроме того, снова можно воспользоваться энергетическими соображениями и показать, что этот тензор симметричен, т. е. Iij=Iji.
Тензор инерции твердого тела можно написать, если известна форма тела. Нам нужно только выписать полную кинетическую энергию всех частиц тела. Частица с массой m и скоростью v обладает кинетической энергией 1/2mv2, а полная кинетическая энергия равна просто сумме
S1/2mv2
по всем частицам тела. Но скорость v каждой частицы связана с угловой скоростью wтвердого тела. Предположим, что тело вращается относительно центра масс, который мы будем считать покоящимся. Если при этом r — положение частицы относительно центра масс, то ее скорость v задается выражением wXr. Поэтому полная кинетическая энергия равна
к. э.=S1/2m(wX г)2. (31.18)
Единственное, что нужно теперь сделать,— это переписать wXr через компоненты wх, wy , wz и координаты х, у, z, а затем сравнить результат с уравнением (31.17); приравнивая коэффициенты, найдем Iij. Проделывая всю эту алгебру, мы пишем:
Умножая это уравнение на m/2, суммируя по всем частицам и сравнивая с уравнением (31.17), мы видим, что Ixx, например, равно
Это и есть та формула для момента инерции тела относительно оси х, которую мы получали уже раньше (гл. 19, вып. 2).
Ну а поскольку r2 =x2+y2+z2, то эту же формулу можно написать в виде
Ixx=Sm(r2– x2). Выписав остальные члены тензора инерции, получим
Если хотите, его можно записать в «тензорных обозначениях»:
где через ri обозначены компоненты (х, у, z) вектора положения частицы, а 2 означает суммирование по всем частицам. Таким образом, момент инерции есть тензор второго ранга, элементы которого определяются свойствами тела и который связывает момент количества движения L с угловой скоростью w: