Чтение онлайн

на главную

Жанры

Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред
Шрифт:

Для любого тела независимо от его формы можно найти эл­липсоид энергии, а следовательно, и три главные оси. Относи­тельно этих осей тензор будет диагональным, так что для лю­бого объекта всегда есть три ортогональные оси, для которых момент количества движения и угловая скорость параллельны друг другу. Они называются главными осями инерции.

§ 5. Векторное произведение

Сами того не подозревая, вы пользуетесь тензором второго ранга уже начиная с гл. 20 (вып. 2). В самом деле, мы опреде­лили там «момент силы, действующий в плоскости», например txy, следующим образом:

txy=xFy– yFx.

Обобщая

это определение на три измерения, можно написать

tij=riFj– rjFi. (31.22)

Как видите, величина tij — это тензор второго ранга. Один из способов убедиться в этом — свернуть tij с каким-то век­тором, скажем с единичным вектором е, т. е. составить

Если эта величина окажется вектором, то tijдолжен преобра­зовываться как тензор — это просто наше определение тензора. Подставляя выражение для tij, получаем

Поскольку скалярные произведения, естественно, являются скалярами, то оба слагаемых в правой части — векторы, как и их разность. Так что tij– — действительно тензор.

Однако tijпринадлежит к особому сорту тензоров, он антисимметричен, т. е.

tij=-tji.

Поэтому у такого тензора есть только три разные и неравные нулю компоненты: txy, tyz и tzz. В гл. 20 (вып. 2) нам удалось показать, что эти три члена почти «по счастливой случайности» преобразуются подобно трем компонентам вектора; поэтому мы могли тогда определить вектор

t=(tx,. ty, tz) = (tyz, tzx, txy).

Я сказал «по случайности» потому, что это происходит только в трехмерном пространстве. Например, для четырех измерений антисимметричный тензор второго ранга имеет шесть различных ненулевых членов, и его, разумеется, нельзя заменить векто­ром, у которого компонент только четыре.

Точно так же как аксиальный вектор t==rXF является тен­зором, по тем же соображениям тензором будет и любое век­торное произведение двух полярных векторов. К счастью, они тоже представимы в виде вектора (точнее, псевдовектора), что немного облегчает нам всю математику.

Вообще говоря, для любых двух векторов а и b девять ве­личин aibjобразуют тензор (хотя для физических целей он не всегда может быть полезен). Таким образом, для вектора по­ложения r величины rirjявляются тензором, а поскольку dij. тоже тензор, то мы видим, что правая часть (31.20) действитель­но является тензором. Подобным же образом тензором будет и (31.22), так как оба члена в правой части — тензоры.

§ 6. Тензор напряжений

Встречавшиеся до сих пор симметричные тензоры возникали

как коэффициенты, связывающие один вектор с другим. Сей­час я познакомлю вас с тензором, имеющим совершенно другой физический смысл,— это тензор напряжений. Предположим, что на твердое тело действуют различные внешние силы. Мы говорим, что внутри тела возникают различные «напряжения», имея при этом в виду внутренние силы между смежными частями материала. Мы уже гово­рили немного о подобных на­пряжениях в двумерном случае, когда рассматривали поверхностное натяжение напряженной диафрагмы (см. гл. 12, § 3, вып. 5). А теперь вы увидите, что внутренние силы в материале трехмерного тела записываются в виде тензора.

Рассмотрим тело из какого-то упругого материала, например брусок из желе. Если мы разрежем этот брусок, то материал на каждой стороне разреза будет, вообще говоря, претерпевать перемещение под действием внутренних сил. До того как был сделан разрез, между двумя этими частями должны были дейст­вовать силы, которые удерживали обе части в едином куске; мы можем выразить напряжение через эти силы. Представьте себе, что мы смотрим на воображаемую плоскость, перпендику­лярную оси х, подобную плоскости s на фиг. 31.5, и интересуем­ся силами, действующими на маленькой площадке Dy/Dz, рас­положенной в этой плоскости.

Фиг. 31.5. Материал, находящийся слева от плоскости s на площади Dy/Dz, действует на материал, нахо­дящийся справа, с силой D F 1 .

Материал, находящийся слева от площадки, действует на материал с правой стороны с силой DF1 (фиг. 31.5, б). Есть, конечно, и обратная реакция, т.е. на материал слева от поверхности действует сила —DF1. Если площадка достаточно мала, то мы ожидаем, что сила DF1 про­порциональна площади Dy/Dz.

Вы уже знакомы с одним видом напряжений — статическим давлением жидкости. Там сила была равна давлению, умно­женному на площадь, и направлена под прямым углом к элементу поверхности. Для твердого тела, а также движущей­ся вязкой жидкости сила не обязательно перпендикулярна по­верхности: помимо давления (положительного или отрицатель­ного), появляется еще и сдвигающая сила. (Под «сдвигающей» силой мы подразумеваем тангенциальные компоненты сил, действующих на поверхности.) Для этого нужно учитывать все три компоненты силы. Заметьте еще, что если раз­рез мы сделаем по плоскости с какой-то другой ориента­цией, то действующие на ней силы тоже будут другими. Полное описание внутренних напряжений требует применения тензоров.

Определим тензор нап­ряжений следующим образом. Вообразите сначала разрез, перпендикулярный оси х, и разложите силу DF1, действующую на разрезе, на ее компо­ненты: DFx1, DFy1, DFz1 (фиг. 31.6).

Фиг. 31.6. Сила DF1, дейст­вующая на элементе площади DyDz, перпендикулярной оси х, разлагается на три компонен­ты: DFx1, DFу1 и DFz1.

Поделиться:
Популярные книги

Невеста

Вудворт Франциска
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
эро литература
8.54
рейтинг книги
Невеста

Энфис 4

Кронос Александр
4. Эрра
Фантастика:
городское фэнтези
рпг
аниме
5.00
рейтинг книги
Энфис 4

Игрок, забравшийся на вершину. Том 8

Михалек Дмитрий Владимирович
8. Игрок, забравшийся на вершину
Фантастика:
фэнтези
рпг
5.00
рейтинг книги
Игрок, забравшийся на вершину. Том 8

Папина дочка

Рам Янка
4. Самбисты
Любовные романы:
современные любовные романы
5.00
рейтинг книги
Папина дочка

Чужое наследие

Кораблев Родион
3. Другая сторона
Фантастика:
боевая фантастика
8.47
рейтинг книги
Чужое наследие

Идеальный мир для Социопата 7

Сапфир Олег
7. Социопат
Фантастика:
боевая фантастика
6.22
рейтинг книги
Идеальный мир для Социопата 7

Восход. Солнцев. Книга VIII

Скабер Артемий
8. Голос Бога
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Восход. Солнцев. Книга VIII

Аномальный наследник. Том 1 и Том 2

Тарс Элиан
1. Аномальный наследник
Фантастика:
боевая фантастика
альтернативная история
8.50
рейтинг книги
Аномальный наследник. Том 1 и Том 2

Мир-о-творец

Ланцов Михаил Алексеевич
8. Помещик
Фантастика:
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Мир-о-творец

Совок 9

Агарев Вадим
9. Совок
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
7.50
рейтинг книги
Совок 9

Инцел на службе демоницы 1 и 2: Секса будет много

Блум М.
Инцел на службе демоницы
Фантастика:
фэнтези
5.25
рейтинг книги
Инцел на службе демоницы 1 и 2: Секса будет много

Кодекс Крови. Книга Х

Борзых М.
10. РОС: Кодекс Крови
Фантастика:
фэнтези
юмористическое фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Кодекс Крови. Книга Х

Бальмануг. (Не) Любовница 2

Лашина Полина
4. Мир Десяти
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.00
рейтинг книги
Бальмануг. (Не) Любовница 2

Любовь Носорога

Зайцева Мария
Любовные романы:
современные любовные романы
9.11
рейтинг книги
Любовь Носорога