Чтение онлайн

на главную

Жанры

Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред
Шрифт:

Для любого тела независимо от его формы можно найти эл­липсоид энергии, а следовательно, и три главные оси. Относи­тельно этих осей тензор будет диагональным, так что для лю­бого объекта всегда есть три ортогональные оси, для которых момент количества движения и угловая скорость параллельны друг другу. Они называются главными осями инерции.

§ 5. Векторное произведение

Сами того не подозревая, вы пользуетесь тензором второго ранга уже начиная с гл. 20 (вып. 2). В самом деле, мы опреде­лили там «момент силы, действующий в плоскости», например txy, следующим образом:

txy=xFy– yFx.

Обобщая

это определение на три измерения, можно написать

tij=riFj– rjFi. (31.22)

Как видите, величина tij — это тензор второго ранга. Один из способов убедиться в этом — свернуть tij с каким-то век­тором, скажем с единичным вектором е, т. е. составить

Если эта величина окажется вектором, то tijдолжен преобра­зовываться как тензор — это просто наше определение тензора. Подставляя выражение для tij, получаем

Поскольку скалярные произведения, естественно, являются скалярами, то оба слагаемых в правой части — векторы, как и их разность. Так что tij– — действительно тензор.

Однако tijпринадлежит к особому сорту тензоров, он антисимметричен, т. е.

tij=-tji.

Поэтому у такого тензора есть только три разные и неравные нулю компоненты: txy, tyz и tzz. В гл. 20 (вып. 2) нам удалось показать, что эти три члена почти «по счастливой случайности» преобразуются подобно трем компонентам вектора; поэтому мы могли тогда определить вектор

t=(tx,. ty, tz) = (tyz, tzx, txy).

Я сказал «по случайности» потому, что это происходит только в трехмерном пространстве. Например, для четырех измерений антисимметричный тензор второго ранга имеет шесть различных ненулевых членов, и его, разумеется, нельзя заменить векто­ром, у которого компонент только четыре.

Точно так же как аксиальный вектор t==rXF является тен­зором, по тем же соображениям тензором будет и любое век­торное произведение двух полярных векторов. К счастью, они тоже представимы в виде вектора (точнее, псевдовектора), что немного облегчает нам всю математику.

Вообще говоря, для любых двух векторов а и b девять ве­личин aibjобразуют тензор (хотя для физических целей он не всегда может быть полезен). Таким образом, для вектора по­ложения r величины rirjявляются тензором, а поскольку dij. тоже тензор, то мы видим, что правая часть (31.20) действитель­но является тензором. Подобным же образом тензором будет и (31.22), так как оба члена в правой части — тензоры.

§ 6. Тензор напряжений

Встречавшиеся до сих пор симметричные тензоры возникали как коэффициенты, связывающие один вектор с другим. Сей­час я познакомлю вас с тензором, имеющим совершенно другой физический смысл,— это тензор напряжений. Предположим, что на твердое тело действуют различные внешние силы. Мы говорим, что внутри тела возникают различные «напряжения», имея при этом в виду внутренние силы между смежными частями материала. Мы уже гово­рили немного о подобных на­пряжениях в двумерном случае, когда рассматривали поверхностное натяжение напряженной диафрагмы (см. гл. 12, § 3, вып. 5). А теперь вы увидите, что внутренние силы в материале трехмерного тела записываются в виде тензора.

Рассмотрим тело из какого-то упругого материала, например брусок из желе. Если мы разрежем этот брусок, то материал на каждой стороне разреза будет, вообще говоря, претерпевать перемещение под действием внутренних сил. До того как был сделан разрез, между двумя этими частями должны были дейст­вовать силы, которые удерживали обе части в едином куске; мы можем выразить напряжение через эти силы. Представьте себе, что мы смотрим на воображаемую плоскость, перпендику­лярную оси х, подобную плоскости s на фиг. 31.5, и интересуем­ся силами, действующими на маленькой площадке Dy/Dz, рас­положенной в этой плоскости.

Фиг. 31.5. Материал, находящийся слева от плоскости s на площади Dy/Dz, действует на материал, нахо­дящийся справа, с силой D F 1 .

Материал, находящийся слева от площадки, действует на материал с правой стороны с силой DF1 (фиг. 31.5, б). Есть, конечно, и обратная реакция, т.е. на материал слева от поверхности действует сила —DF1. Если площадка достаточно мала, то мы ожидаем, что сила DF1 про­порциональна площади Dy/Dz.

Вы уже знакомы с одним видом напряжений — статическим давлением жидкости. Там сила была равна давлению, умно­женному на площадь, и направлена под прямым углом к элементу поверхности. Для твердого тела, а также движущей­ся вязкой жидкости сила не обязательно перпендикулярна по­верхности: помимо давления (положительного или отрицатель­ного), появляется еще и сдвигающая сила. (Под «сдвигающей» силой мы подразумеваем тангенциальные компоненты сил, действующих на поверхности.) Для этого нужно учитывать все три компоненты силы. Заметьте еще, что если раз­рез мы сделаем по плоскости с какой-то другой ориента­цией, то действующие на ней силы тоже будут другими. Полное описание внутренних напряжений требует применения тензоров.

Определим тензор нап­ряжений следующим образом. Вообразите сначала разрез, перпендикулярный оси х, и разложите силу DF1, действующую на разрезе, на ее компо­ненты: DFx1, DFy1, DFz1 (фиг. 31.6).

Фиг. 31.6. Сила DF1, дейст­вующая на элементе площади DyDz, перпендикулярной оси х, разлагается на три компонен­ты: DFx1, DFу1 и DFz1.

Поделиться:
Популярные книги

Кодекс Охотника. Книга XXIV

Винокуров Юрий
24. Кодекс Охотника
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Кодекс Охотника. Книга XXIV

Король Масок. Том 2

Романовский Борис Владимирович
2. Апофеоз Короля
Фантастика:
городское фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Король Масок. Том 2

Барон диктует правила

Ренгач Евгений
4. Закон сильного
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Барон диктует правила

На границе империй. Том 10. Часть 3

INDIGO
Вселенная EVE Online
Фантастика:
боевая фантастика
космическая фантастика
попаданцы
5.00
рейтинг книги
На границе империй. Том 10. Часть 3

Возвышение Меркурия. Книга 13

Кронос Александр
13. Меркурий
Фантастика:
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Возвышение Меркурия. Книга 13

Тайный наследник для миллиардера

Тоцка Тала
Любовные романы:
современные любовные романы
5.20
рейтинг книги
Тайный наследник для миллиардера

Волк 2: Лихие 90-е

Киров Никита
2. Волков
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Волк 2: Лихие 90-е

Чужая дочь

Зика Натаэль
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.00
рейтинг книги
Чужая дочь

Система Возвышения. (цикл 1-8) - Николай Раздоров

Раздоров Николай
Система Возвышения
Фантастика:
боевая фантастика
4.65
рейтинг книги
Система Возвышения. (цикл 1-8) - Николай Раздоров

Отмороженный

Гарцевич Евгений Александрович
1. Отмороженный
Фантастика:
боевая фантастика
рпг
5.00
рейтинг книги
Отмороженный

Изгой. Трилогия

Михайлов Дем Алексеевич
Изгой
Фантастика:
фэнтези
8.45
рейтинг книги
Изгой. Трилогия

Столичный доктор

Вязовский Алексей
1. Столичный доктор
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
8.00
рейтинг книги
Столичный доктор

Сумеречный стрелок 8

Карелин Сергей Витальевич
8. Сумеречный стрелок
Фантастика:
городское фэнтези
попаданцы
альтернативная история
аниме
5.00
рейтинг книги
Сумеречный стрелок 8

Действуй, дядя Доктор!

Юнина Наталья
Любовные романы:
короткие любовные романы
6.83
рейтинг книги
Действуй, дядя Доктор!