Чтение онлайн

на главную - закладки

Жанры

Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред
Шрифт:

Индексы нашего тензора поляризуемости могут принимать три различных значения, т. е. это трехмерный тензор. Матема­тики рассматривают также тензоры размерности четыре, пять и больше. Кстати, четырехмерный тензор нам уже встречался при релятивистском описании электромагнитного поля (см. гл. 26, вып. 6) — это Fmv .

Тензор поляризуемости aijобладает одним интересным свойством: он симметричен, т. е. axy=ayx и т. п. для любой пары индексов. (Это свойство отражает физические качества ре­ального кристалла, и вовсе не обязательно у любого тензора.) Вы можете самостоятельно

доказать это, подсчитав изменения энергии кристалла по следующей схеме:

1) включите электрическое поле в направления оси х;

2) включите поле в направлении оси у;

3) выключите x– поле;

4) выключите y-поле.

Теперь кристалл вернулся к прежнему положению и полная работа, затраченная на поляризацию, должна быть нулем. Но для этого, как вы можете убедиться, axy должно быть равно а. Однако те же рассуждения можно провести и для axzи т. д. Таким образом, тензор поляризуемости симметричен.

Это означает также, что тензор поляризуемости можно найти простым измерением энергии, необходимой для поляризации кристалла в различных направлениях. Предположим, мы сна­чала взяли электрическое поле Е с компонентами х и у; тогда, согласно уравнению (31.7),

Если бы у нас была только одна компонента Ех, мы могли бы определить aхх, а с одной компонентой Еyможно определить ayy . Включив обе компоненты Ехи Еy, мы из-за присутствия члена (aху+aух) получим добавочную энергию, ну а поскольку axy и ayx равны, то этот член превращается в 2axy и мо­жет быть вычислен из добавочной энергии.

Выражение для энергии (31.8) имеет очень красивую геомет­рическую интерпретацию. Предположим, что нас интересует, какие поля Ехи Еyотвечают данной плотности энергии, скажем u0. Возникает чисто математическая задача решения уравне­ния

Это уравнение второй степени, так что, если мы отложим по осям величины Ехи Еy , решением этого уравнения будут все точки эллипса (фиг. 31.2).

Фиг. 31.2 Конец любого вектора E =(E x , e v ) , лежащего на этой кривой, дает одну и ту же анер­гию поляризации.

(Это должен быть именно эллипс, а не парабола и не гипербола — ведь энергия поля всегда положительна и конечна.) А само Е с компонентами Ехи Еyпредстав­ляет

вектор, идущий из начала координат до точки на эллипсе. Такой «энергетический эллипс» — хороший способ «увидеть» тензор поляризуемости.

Если теперь пустить в дело все три компоненты, то любой вектор Е, необходимый для создания единичной плотности энергии, задается точками, расположенными на эллипсоиде, подобно изображенному на фиг. 31.3. Форма этого эллипсоида постоянной энергии однозначно характеризует тензор поляри­зуемости.

Заметьте теперь, что эллипсоид имеет очень интересное свойство — его всегда можно описать простым заданием на­правления трех «главных осей» и диаметров эллипсоида по этим осям. Такими «главными осями» являются направления наи­меньшего и наибольшего диаметра и направление, перпендику­лярное к ним. На фиг. 31.3 они обозначены буквами а, b и с.

Фиг. 31.3. Эллипсоид анергии для тензора поляризуемости.

По отношению к этим осям уравнение эллипсоида имеет осо­бенно простую форму:

Итак, по отношению к главным осям у тензора поляризуе­мости останутся только три ненулевые компоненты aаа, abbи aсс. Другими словами, сколь бы ни был сложен кристалл, всегда можно выбрать оси так (они не обязательно будут осями самого кристалла), что у тензора поляризуемости останется только три компоненты. Уравнение (31.4) для таких осей ста­новится особенно простым:

Ра =aааЕа, Рb =abbEb, Рс =aссЕс. (31.9)

Иначе говоря, электрическое поле, направленное по любой одной из главных осей, дает поляризацию, направленную по той же оси, но, разумеется, для различных осей коэффициенты будут разными.

Тензор часто записывается в виде таблицы из девяти коэф­фициентов, взятых в скобки:

Для главных же осей а, b и с в таблице остаются только диаго­нальные члены, поэтому мы говорим, что тензор становится «диагональным», т. е.

Самое важное здесь то, что к такой форме подходящим выбором осей координат можно привести любой тензор поляризуемости (фактически любой симметричный тензор второго ранга какого угодно числа измерений).

Если все три элемента тензора поляризуемости в диагональ­ной форме равны друг другу, т. е. если

то эллипсоид энергии превращается в сферу, поляризуемость во всех направлениях становится одинаковой, а материал изот­ропным. В тензорных обозначениях

где.dijединичный тензор:

что, разумеется, означает

Поделиться:
Популярные книги

Невеста

Вудворт Франциска
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
эро литература
8.54
рейтинг книги
Невеста

Энфис 4

Кронос Александр
4. Эрра
Фантастика:
городское фэнтези
рпг
аниме
5.00
рейтинг книги
Энфис 4

Игрок, забравшийся на вершину. Том 8

Михалек Дмитрий Владимирович
8. Игрок, забравшийся на вершину
Фантастика:
фэнтези
рпг
5.00
рейтинг книги
Игрок, забравшийся на вершину. Том 8

Папина дочка

Рам Янка
4. Самбисты
Любовные романы:
современные любовные романы
5.00
рейтинг книги
Папина дочка

Чужое наследие

Кораблев Родион
3. Другая сторона
Фантастика:
боевая фантастика
8.47
рейтинг книги
Чужое наследие

Идеальный мир для Социопата 7

Сапфир Олег
7. Социопат
Фантастика:
боевая фантастика
6.22
рейтинг книги
Идеальный мир для Социопата 7

Восход. Солнцев. Книга VIII

Скабер Артемий
8. Голос Бога
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Восход. Солнцев. Книга VIII

Аномальный наследник. Том 1 и Том 2

Тарс Элиан
1. Аномальный наследник
Фантастика:
боевая фантастика
альтернативная история
8.50
рейтинг книги
Аномальный наследник. Том 1 и Том 2

Мир-о-творец

Ланцов Михаил Алексеевич
8. Помещик
Фантастика:
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Мир-о-творец

Совок 9

Агарев Вадим
9. Совок
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
7.50
рейтинг книги
Совок 9

Инцел на службе демоницы 1 и 2: Секса будет много

Блум М.
Инцел на службе демоницы
Фантастика:
фэнтези
5.25
рейтинг книги
Инцел на службе демоницы 1 и 2: Секса будет много

Кодекс Крови. Книга Х

Борзых М.
10. РОС: Кодекс Крови
Фантастика:
фэнтези
юмористическое фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Кодекс Крови. Книга Х

Бальмануг. (Не) Любовница 2

Лашина Полина
4. Мир Десяти
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.00
рейтинг книги
Бальмануг. (Не) Любовница 2

Любовь Носорога

Зайцева Мария
Любовные романы:
современные любовные романы
9.11
рейтинг книги
Любовь Носорога