Чтение онлайн

на главную - закладки

Жанры

Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред
Шрифт:

Отношение этих сил к площади Dy/Dz мы назовем Sxx, Syxи Szx. Например,

Syx=DFу1/DyDz

Первый индекс у относится к направлению компоненты силы, а второй х — к

направлению нормали к плоскости. Если угод­но, площадь DyDz можно записать как Dах, имея в виду элемент площади, перпендикулярный оси х, т. е.

Syx=DFу1/Dах

А теперь представьте себе разрез, перпендикулярный оси у. Пусть на маленькую площадку DxDz действует сила DF2.

Разлагая снова эту силу на три компоненты, как показано на фиг. 31.7, мы опре­деляем три компоненты на­пряжения Sxy, Syy, Szyкак силы, действующие на единичную площадь в этих трех направлениях.

Фиг. 31.7. Сила, действующая на элемент площади, перпенди­кулярной оси у, разлагается на три взаимно перпендикулярные компоненты.

Наконец, проведем воображаемый раз­рез, перпендикулярный оси z, и определим три компоненты Sxz, Syzи Szz. Таким образом, получается девять чисел:

Я хочу теперь показать, что этих девяти величин достаточ­но, чтобы полностью описать внутреннее напряженное состоя­ние, и что Sij– —действительно тензор. Предположим, что мы хо­тим знать силу, действующую на поверхность, наклоненную под некоторым произвольным углом. Можно ли найти ее, ис­ходя из Sij? Можно, и это делается следующим образом. Вооб­разите маленькую призму, одна грань N которой наклонна, а другие — параллельны осям координат. Если окажется, что грань N параллельна оси z, то получается картина, изобра­женная на фиг. 31.8.

Фиг. 31.8. Разложение на компо­ненты силы Fn, действующей на грани N (с единичной нормалью n).

(Это, конечно, частный случай, но он до­статочно хорошо иллюстрирует общий метод.) Дальше, напря­жения, действующие на эту призмочку, должны быть

такими, чтобы она находилась в равновесии (по крайней мере в пределе бесконечно малого размера), так что действующая на нее пол­ная сила должна быть равна нулю. Силы, действующие на гра­ни, параллельные осям координат, известны нам непосред­ственно из тензора Sij. А их векторная сумма должна равняться силе, действующей на грань N, так что эту силу можно выра­зить через Sij.

Наше допущение, что поверхностные силы, действующие на малый объем, находятся в равновесии, предполагает отсутствие объемных сил, подобных силе тяжести или псевдосилам, которые тоже могут присутствовать, если наша система координат не инерциальна. Заметьте, однако, что такие объемные силы бу­дут пропорциональны объему призмочки и поэтому пропорцио­нальны Dx,Dy, Dz, тогда как поверхностные силы пропорцио­нальны DxDy, DyDz и т. п. Итак, если размер призмочки взять достаточно малым, то объемные силы будут пренебрежимо малы по сравнению с поверхностными.

А теперь сложим силы, действующие на нашу призмочку. Возьмемся сначала за х-компоненту, которая состоит из пяти частей, по одной от каждой грани. Но если Dz достаточно мало, то силы от треугольных граней (перпендикулярные оси z) будут равны друг другу и противоположны по направлению, поэтому о них можно забыть. На основание призмы действует x-компонента силы, равная

DFx2=SxyDхDz,

а x-компонента силы, действующей на вертикальную прямо­угольную грань, равна

DFx1=SхxDz.

Сумма этих двух сил должна быть равна x-компоненте силы, действующей извне на грань N. Обозначим через n единич­ный вектор нормали к грани N, а через Fn — действующую на нее силу, тогда получим

DFxn=SxxDyDz+SxyDxDz.

Составляющая напряжения по оси х (Sxn), действующего в этой плоскости, равна силе DFxn, деленной на площадь, т. е. DzЦ(Dx2+Dy2), или

Но, как видно из фиг. 31.8, отношение Dх/Ц(Dx2+Dy2) — это косинус угла q между n и осью у и может быть записан как пу, т. е. y-компонента вектора n. Аналогично, Dy/Ц(Dx2+Dy2) равно sinq=nх. Поэтому мы можем написать

Поделиться:
Популярные книги

Исправленному верить

Шах Ольга
Фантастика:
попаданцы
фэнтези
5.00
рейтинг книги
Исправленному верить

Теневой Перевал

Осадчук Алексей Витальевич
8. Последняя жизнь
Фантастика:
попаданцы
аниме
фэнтези
5.00
рейтинг книги
Теневой Перевал

Кодекс Крови. Книга ХI

Борзых М.
11. РОС: Кодекс Крови
Фантастика:
попаданцы
аниме
фэнтези
5.00
рейтинг книги
Кодекс Крови. Книга ХI

Законы Рода. Том 11

Flow Ascold
11. Граф Берестьев
Фантастика:
юмористическое фэнтези
аниме
фэнтези
5.00
рейтинг книги
Законы Рода. Том 11

Легат

Прокофьев Роман Юрьевич
6. Стеллар
Фантастика:
боевая фантастика
рпг
6.73
рейтинг книги
Легат

Никчёмная Наследница

Кат Зозо
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.00
рейтинг книги
Никчёмная Наследница

Очкарик 2

Афанасьев Семен
2. Очкарик
Фантастика:
фэнтези
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Очкарик 2

Лучший из худших-2

Дашко Дмитрий Николаевич
2. Лучший из худших
Фантастика:
фэнтези
5.00
рейтинг книги
Лучший из худших-2

Измена. Свадьба дракона

Белова Екатерина
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
эро литература
5.00
рейтинг книги
Измена. Свадьба дракона

Идеальный мир для Лекаря 20

Сапфир Олег
20. Лекарь
Фантастика:
фэнтези
юмористическое фэнтези
аниме
5.00
рейтинг книги
Идеальный мир для Лекаря 20

Довлатов. Сонный лекарь

Голд Джон
1. Не вывожу
Фантастика:
альтернативная история
аниме
5.00
рейтинг книги
Довлатов. Сонный лекарь

Как я строил магическую империю 7

Зубов Константин
7. Как я строил магическую империю
Фантастика:
попаданцы
постапокалипсис
аниме
фантастика: прочее
5.00
рейтинг книги
Как я строил магическую империю 7

Имя нам Легион. Том 9

Дорничев Дмитрий
9. Меж двух миров
Фантастика:
боевая фантастика
рпг
аниме
5.00
рейтинг книги
Имя нам Легион. Том 9

Повелитель механического легиона. Том II

Лисицин Евгений
2. Повелитель механического легиона
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Повелитель механического легиона. Том II