Чтение онлайн

на главную

Жанры

Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред
Шрифт:

§ 2. Преобразование компонент тензора

Вы знаете, что при замене старых осей координат новыми х', у' и z' компоненты вектора Ех', Еу', Ег'тоже оказываются другими. То же самое происходит и с компонентами Р, так что для разных систем координат коэффициенты aijоказываются различными. Однако вполне можно выяснить, как должны изме­няться а при надлежащем изменении компонент Е и Р,

ибо, если мы описываем то же самое электрическое поле, но в но­вой системе координат, мы должны получить ту же самую по­ляризацию Р. Для любой новой системы координат Px' будет линейной комбинацией Рх, Рy' , и Рz':

Р x =аР х +bР у +сР z ,

и аналогично для других компонент. Если вместо Рх, Рyи Рzподставить их выражения через Е согласно (31.4), то получится

Теперь напишите, как выражается Ех, Еyи Ezчерез Еx' , Еy'и Еz' , например,

E x = a'E x ' +b'E y ' +c'E z ' ,

где числа а', b' и с' связаны с числами а, b и c, но не равны им. Таким образом, у вас получилось выражение Рх'через компо­ненты Ех', Еy'и Ez' , т. е. получились новые aij. Никаких хит­ростей здесь нет, хотя все это достаточно запутано.

Когда мы говорили о преобразовании осей, то считали, что положение самого кристалла фиксировано в пространстве. Если же вместе с осями поворачивать и кристалл, то a не изме­няются. И обратно, если по отношению к осям изменять ориен­тацию кристалла, то получится новый набор коэффициентов а. Но если они известны для какой-то одной ориентации кристал­ла, то с помощью только что описанного преобразования их можно найти и для любой другой ориентации. Иначе говоря, диэлектрические свойства кристалла полностью описываются заданием компонент тензора поляризуемости aij. в любой про­извольно выбранной системе координат. Точно так же как век­тор скорости v = (vx, vy , vz) можно связать с частицей, зная, что три его компоненты при замене осей координат будут изменять­ся некоторым определенным образом, тензор поляризуемости aij, девять компонент которого при изменении системы осей координат преобразуются вполне определенным образом, мож­но связать с кристаллом.

Связь между Р и Е в уравнении (31.4) можно записать в бо­лее компактном виде:

где под значком i понимается какая-то из трех букв х, у или z, а суммирование ведется по j=x, у и z. Для работы с тензорами было придумано много специальных обозначений, но каждое из них удобно для ограниченного класса проблем. Одно из та­ких общих соглашений состоит в том, что можно не писать знака суммы (S) в уравнении (31.5), понимая при этом, что когда один и тот же индекс встречается дважды (в нашем случае j), то нужно просуммировать по всем значениям этого индекса. Однако, поскольку работать с тензорами нам придется немного, давайте не будем осложнять себе жизнь введением каких-то специальных обозначений или соглашений.

§ 3. Эллипсоид энергии

Потренируемся теперь в обращении с тензорами. Рассмот­рим такой интересный вопрос: какая энергия требуется для поляризации кристалла (в дополнение к энергии электрического поля, которая, как известно, равна e0Е2/2 на единицу объема)? Представьте на минуту атомные заряды, которые должны быть перемещены. Работа, требуемая для перемещения одного такого заряда на расстояние dx, равна qExdx, а если таких зарядов в единице объема содержится N штук, то для перемещения их требуется работа qExNdx. Но qNdx равно изменению дипольного момента единицы объема dPx. Так что работа, затраченная на единицу объема, равна

E x dP x .

Складывая теперь работы всех трех компонент, найдем, ка­кой должна быть работа в единице объема:

E·dP.

Но поскольку величина Р пропорциональна Е, то работа, за­траченная на поляризацию единицы объема от 0 до Р, равна интегралу от E·dP. Обозначая ее через ир, можно написать

Теперь можно воспользоваться уравнением (31.5) и выра­зить Р через E. В результате получим

Плотность энергии ирвеличина, не зависящая от выбора осей, т. е. скаляр. Таким образом, тензор обладает тем свойст­вом, что, будучи просуммирован по одному индексу (с векто­ром), он дает новый вектор, а будучи просуммирован по обоим индексам (с двумя векторами), дает скаляр.

Тензор aijна самом деле нужно называть «тензором вто­рого ранга», ибо у него два индекса. В этом смысле вектор, у которого всего один индекс, можно назвать «тензором первого ранга», а скаляр, у которого вообще нет индексов,— «тензором нулевого ранга». Итак, выходит, что электрическое поле Е будет тензором первого ранга, а плотность энергии upтензором нулевого ранга. Эту идею можно распространить на тензоры с тремя и более индексами и определить тензоры, ранг которых выше двух.

Поделиться:
Популярные книги

Последняя жена Синей Бороды

Зика Натаэль
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.00
рейтинг книги
Последняя жена Синей Бороды

Найди меня Шерхан

Тоцка Тала
3. Ямпольские-Демидовы
Любовные романы:
современные любовные романы
короткие любовные романы
7.70
рейтинг книги
Найди меня Шерхан

Месть Паладина

Юллем Евгений
5. Псевдоним `Испанец`
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
7.00
рейтинг книги
Месть Паладина

В теле пацана 6

Павлов Игорь Васильевич
6. Великое плато Вита
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
5.00
рейтинг книги
В теле пацана 6

Сфирот

Прокофьев Роман Юрьевич
8. Стеллар
Фантастика:
боевая фантастика
рпг
6.92
рейтинг книги
Сфирот

Не грози Дубровскому! Том Х

Панарин Антон
10. РОС: Не грози Дубровскому!
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Не грози Дубровскому! Том Х

Последний реанорец. Том I и Том II

Павлов Вел
1. Высшая Речь
Фантастика:
фэнтези
7.62
рейтинг книги
Последний реанорец. Том I и Том II

Я — Легион

Злобин Михаил
3. О чем молчат могилы
Фантастика:
боевая фантастика
7.88
рейтинг книги
Я — Легион

Начальник милиции 2

Дамиров Рафаэль
2. Начальник милиции
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Начальник милиции 2

(Не)свободные, или Фиктивная жена драконьего военачальника

Найт Алекс
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.00
рейтинг книги
(Не)свободные, или Фиктивная жена драконьего военачальника

Курсант: Назад в СССР 11

Дамиров Рафаэль
11. Курсант
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Курсант: Назад в СССР 11

Совпадений нет

Безрукова Елена
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.50
рейтинг книги
Совпадений нет

Вечный. Книга V

Рокотов Алексей
5. Вечный
Фантастика:
боевая фантастика
попаданцы
рпг
5.00
рейтинг книги
Вечный. Книга V

Жена по ошибке

Ардова Алиса
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
7.71
рейтинг книги
Жена по ошибке