Фейнмановские лекции по физике. 8. Квантовая механика I

Фейнман Ричард Филлипс

а по отношению к T'

Но мы знаем, что, должны были бы получить тот же результат если бы сразу за S поставили Т'!Значит, когда угол удваивает­ся, то удваивается и фаза. Эти аргументы мы можем, естествен­но, обобщить и построить любой поворот из последовательных бесконечно малых поворотов. Мы заключаем, что К пропор­ционально j для любого угла j. Поэтому всегда можно писать l=mj.

Общий полученный нами результат состоит, следовательно, в том, что для Т, повернутого вокруг оси z относительно S на

угол j,

Для угла j и для всех поворотов, которые встретятся нам в будущем, мы условимся считать, что положительным поворо­том будет поворот правого винта, который ввинчивается в по­ложительном направлении z.

Теперь остается узнать, каким должно быть m. Попробуем сперва следующее рассуждение: пусть Т повернулся на 360°; ясно, что тогда он опять очутится под нулем градусов, и мы должны будем иметь С'₊=С₊и С'_– = С_– , или, что то же самое, e^im2p=1. Мы получаем m=1. Это рассуждение не годится!

Чтобы убедиться в этом, допустим, что Т повернут на 180°. Если бы т было равно единице, мы получили бы

Но это просто опять получилось первоначальное состояние. Обе амплитуды по­просту умножены на -1; это возвращает нас к исходной физиче­ской системе. (Опять случай всеобщей перемены фаз.) Это озна­чает, что если угол между Т и S на фиг. 4.5, б увеличивается на 180°, то система (по отношению к Т) оказывается неотличимой от случая 0° и частицы должны опять проходить через состояние (+) прибора U. Но при 180° состояние (+) прибора U — это состояние (-х) начального прибора S. Так что состояние (+x) станет состоянием (– х). Но мы-то ведь ничего не делали для изменения начального состояния; ответ поэтому ошибочен. Не может быть, чтобы т=1.

Нет, все должно быть иначе: надо, чтобы только поворот на 360° (и ни на какие меньшие углы) воспроизводил то же самое физическое состояние. Это случится при m =¹/₂. Тогда и только тогда первым углом, воспроизводящим то же самое физическое состояние, будет угол =360°. При этом будет

Очень курьезно вдруг обнаружить, что поворот прибора на 360° приводит к новым амплитудам. Но на самом деле они не новы, потому что одновременная перемена знака ни к какой новой физике не приводит. Если кто-нибудь задумает переме­нить все знаки у всех амплитуд, подумав, что он повернулся на 360°, то это его дело — физику он получит ту же, прежнюю. Итак, наш окончательный ответ таков: если мы знаем амплиту­ды С₊и С_– для частиц со спином ¹/₂ по отношению к системе отсчета S и если затем мы используем базисную систему, свя­занную с Т (Т получается из S поворотом на j относительно оси z), то новые амплитуды выражаются через старые так:

§ 4. Повороты на 180° и па 90° вокруг оси у

Теперь попробуем подобрать преобразование

для поворота Т (по отношению к S) на 180° вокруг оси, перпендикулярной к оси z, скажем вокруг оси у. (Оси координат мы определили на фиг. 4.1.) Иными словами, берутся два одинаковых прибора Штерна — Герлаха и второй из них, Т, переворачивается от­носительно первого, S, «вверх ногами» (фиг. 4.6).

Фиг. 4.6. Поворот на 180° вокруг оси у.

Если рассмат­ривать частицы как маленькие магнитные диполи, то частица, которая находится в состоянии (+S) (в первом приборе она избирает «верхний» путь), и во втором приборе избирает «верх­ний» путь, т. е. окажется по отношению к Г в минус– состоянии. (В перевернутом приборе Т переворачиваются и поле, и направление его градиента; для частицы с заданным направле­нием магнитного момента сила не меняется.) То, что для S было «верхом», то для Т будет «низом». Для такого относительного расположения S и Т преобразования, естественно, должны дать

Как и раньше, нельзя исключить добавочные фазовые множи­тели; на самом деле может оказаться, что

где b и g еще подлежат определению.

А что можно сказать о повороте вокруг оси у на угол 360° Мы уже знаем ответ для поворота на 360° вокруг оси z: амплитуда пребывания в любом состоянии меняет знак. Повороты на 360° вокруг любой оси всегда приводят прибор в прежнее положение. Таким образом, результат любого поворота на 360° должен быть таким же, как и при повороте на 360° вокруг оси z,—все амплитуды должны просто переменить знак. Теперь представим себе два последовательных поворота на 180° вокруг оси у по формуле (4.20); после них должен получиться резуль­тат (4.18). Иными словами,

Это означает, что

Следовательно, g=-b+p, и преобразование для поворота на 180° вокруг оси у может быть записано так:

Рассуждения, которыми мы только что пользовались, в рав­ной степени применимы к поворотам на 180° вокруг любой оси в плоскости ху, хотя, конечно, повороты вокруг разных осей дадут для b разные числа. Но это единственное, чем они могут отличаться. В числе b имеется известный произвол, но, как только оно определено для какой-то одной оси в плоскости ху, оно определяется и для всех прочих осей. Принято выби­рать b=0 для поворотов на 180° вокруг оси у.

Чтобы показать, что свобода такого выбора у нас есть, предположим, что мы решили, что b не равно нулю для пово­рота вокруг оси y; тогда можно показать, что в плоскости ху существует какая-то другая ось, для которой соответствующая фаза будет нулем. Найдем фазовый множитель b_A для оси А, образующей с осью у угол a, как показано на фиг. 4.7, а.

Фиг. 4.7. Поворот на 180° вокруг оси А (а) эквивалентен повороту на 180° вокруг оси у (б), за которым следует поворот вокруг оси z' (в).

(Для удобства на рисунке угол а отрицателен, но это неважно.) Если теперь мы возьмем прибор Т, первоначально направлен­ный гак же, как и S, а потом повернем его вокруг оси А на 180°, то его оси — назовем их х", у", z"— расположатся так, как на фиг. 4,7, а. Амплитуды по отношению к Т тогда станут