Фейнмановские лекции по физике. 8. Квантовая механика I

Фейнман Ричард Филлипс

Во-первых, следует напомнить, что (4.11) — это математи­ческое определение «произведения» двух матриц. (Просто очень удобно говорить «R^USесть произведение R^UTи R^TS».) Во-вторых, существует математическая теорема (которую для используемых здесь матриц 2X2 вы легко докажете), утверждающая, что детерминант «произведения» двух матриц есть произведение их детерминантов. Применив эту теорему к (4.12), получим

(Мы отбрасываем нижние индексы, они здесь ничего полезного нам не сообщают.) Да, слева стоит 2S! Вспомните, что мы имеем дело с матрицами 2x2; каждый член в матрице R^US_kiумножен на е^id, а каждый член в детерминанте (состоящий из двух мно­жителей) получается умножением на е^i2d. Извлечем из (4.13) корень и разделим на него (4.12):

Добавочный фазовый множитель исчез.

Дальше оказывается, что если мы хотим, чтобы все наши амплитуды в любом заданном представлении были нормированы (а это, как вы помните, означает, что

то у всех матриц поворота детерминанты окажутся чисто мни­мыми экспонентами, наподобие е^ia. (Мы не будем этого дока­зывать; вы сами потом увидите, что это всегда так.) Значит, мы сможем, если захотим, выбрать все наши матрицы поворота R так, чтобы фаза их получалась однозначно, взяв DetR=1. Это будет делаться так. Пусть мы каким-то произвольным об­разом определили матрицу поворота R. Возьмем за правило «приводить» ее к «стандартной форме», определяя

Для получения однозначных фаз мы просто умножаем каждый член в R на один и тот же фазовый множитель. В дальнейшем мы будем всегда предполагать, что наши матрицы были приве­дены к «стандартной форме»; тогда мы сможем пользоваться прямо формулой (4.11) без каких-либо добавочных фазовых множителей.

§ 3. Повороты вокруг оси z

Теперь мы уже подготовлены к тому, чтобы отыскать матри­цу преобразования R_ji, связывающую два разных представления, Владея нашим правилом объединения поворотов и нашим предположением, что в пространстве нет предпочтительного направ­ления, мы владеем ключом для отыскания матрицы любого произвольного поворота. Решение здесь только одно. Начнем с преобразования, которое отвечает повороту вокруг оси z. Пусть имеются два прибора S и Т, поставленных друг за дру­гом вдоль одной прямой; оси их параллельны и смотрят из страницы на вас (фиг. 4.4, а).

Фиг. 4.4. Поворот на 90° вокруг оси z.

Это их направление мы примем за ось z. Ясно, что если пучок в приборе S идет вверх (к +z), то то же будет и в аппарате Т. Точно так же, если он в S идет вниз, то и в Т он направится вниз. Положим, однако, что прибор Т был повернут на какой-то угол, но его ось, как и прежде, параллельна оси прибора S, как на фиг. 4.4, б. Интуитивно хочется сказать, что пучок (+) в S будет по-прежнему пере­ходить в пучок (+) в Т, потому что и поля, и их градиенты характеризуются тем же физическим направлением. И это вполне правильно. Точно так же и пучок (-) в S будет перехо­дить в пучок (-) в Т. Тот же результат применим для любой ориентации Т в плоскости ху прибора S. Что же отсюда сле­дует для связи между С'₊=<+T|y>, С'_– =<-T|y> и С₊=<+S|y>, С_– =<-S |y>? Можно подумать, что любой поворот вокруг оси z «системы отсчета» базисных со­стояний оставляет амплитуды С± пребывания «вверху» и «вни­зу» теми же, что и раньше, и написать С'₊=С₊и С'_– =С_– . Но это неверно. Все, что можно отсюда заключить,— это, что при таких поворотах вероятности оказаться в «верхнем» пучке при­боров S и Т одинаковы, т. е.

Но мы не вправе утверждать, что фазы амплитуд, относящихся к прибору Т, не могут в двух различных ориентациях а и б (фиг. 4.4) различаться.

Пары приборов, показанных на фиг. 4.4, на самом деле от­личаются друг от друга, в чем можно убедиться следующим образом. Предположим, что мы перед прибором S поставили другой, создающий чистое (+x)-состояние. (Ось х направлена на рисунке вниз.) Эти частицы расщеплялись бы в S на пучки (+z) и (-z), но на выходе S (в точке Р₁) оба пучка снова сое­динялись бы и восстанавливали состояние (+ х). Затем то же самое происходило бы в Т. Если бы за Т поставить третий при­бор U, ось которого направлена по (+ х). как показано на фиг. 4.5, а, то все частицы пошли бы в пучок (+) прибора U.

Фиг. 4.5. Частица в состоянии (+х) ведет себя в опытах а и б по-разному.

Теперь представим, что произойдет, если Т и U вместе повер­нуть на 90°, как показано на фиг. 4.5, б. Прибор Т опять будет пропускать все, что в него поступает, так что частицы, входя­щие в U, будут в (+x)-состоянии по отношению к S. Но U теперь анализирует состояние (+y) (по отношению к S), а это совсем не то, что раньше. (Из симметрии следует ожидать, что через него пройдет только половина частиц.)

Что же могло перемениться? Приборы Т и U по отношению друг к другу расположены одинаково. Могла ли измениться фи­зика просто из-за того, что Т и U иначе ориентированы? Нет, гласит наше первоначальное предположение. Значит, разли­чаться в двух случаях, показанных на фиг. 4.5, должны ампли­туды по отношению к Т. То же должно быть, следовательно, и на фиг. 4.4. Частица должна как-то уметь узнавать, что в Р₁ она завернула за угол. Как же она может об этом поведать? Что ж, остается только одно: величины С'₊ и С'₊в обоих случаях одинаковы, но могут — а на самом деле должны — обладать разными фазами. Мы приходим к заключению, что С'₊и С₊дол­жны быть связаны формулой

а С'_– и С —формулой

где l, и m — вещественные числа, которые как-то должны быть связаны с углом между S и Т.

В данный момент единственное, что мы можем сказать про lи m,— это то, что они не могут быть равны друг другу (кроме показанного на фиг. 4.5, а особого случая, когда Т и S ориен­тированы одинаково). Мы видели, что изменение всех амплитуд на одну и ту же фазу ни к каким физическим следствиям не при­водит. По той же причине всегда можно добавить к lи mлюбое постоянное число — это тоже ничего не изменит. Значит, нам представляется возможность выбрать lи mравными плюс и минус одному и тому же числу. Всегда можно взять

Тогда

Итак, мы договоримся считать m=-l и придем к общему правилу, что поворот прибора, относительно которого ведется отсчет, вокруг оси z на какой-то угол приводит к преобразова­нию

Абсолютные значения одинаковы, а фазы различны. Эти-то фазовые множители и отвечают за различные результаты двух опытов, показанных на фиг. 4.5.

Теперь надо узнать закон, связывающий X с углом между S и Т. Для одного случая ответ известен. Если угол — нуль, то и l — нуль. Теперь предположим, что фазовый сдвиг l, есть непрерывная функция угла j между S и Т (см. фиг. 4.4) при j, стремящемся к нулю. По-видимому, это единственное разум­ное допущение. Иными словами, если свернуть Т с прямой линии S на малый угол e, то и lтоже будет малым числом, ска­жем me, где m — некоторый коэффициент. Мы пишем те, по­тому что можем доказать, что l обязано быть пропорционально e. Если бы мы поставили за T новый прибор Т, тоже образую­щий с Т угол e, а с S тем самым образующий угол 2e, то по отно­шению к Т мы бы имели