Чтение онлайн

на главную - закладки

Жанры

Фейнмановские лекции по физике. 8. Квантовая механика I
Шрифт:

Понимаете, почему? (Подсказка: представьте, что между А к В поставлен прибор Т.) Если мы затем рассмотрим особый случай, когда j и cтакже базисные состояния (прибора Т), скажем i и j, то получим

Это уравнение дает нам матрицу прибора «произведения» С через матрицы приборов А и В. Математики именуют новую матрицу <j|С|i>, образованную из двух матриц <j|В|i>

и <j|А|i> в соответствии с правилом, указанным в (3.36), матричным «произведением» ВА двух матриц В и А. (Заметьте, что порядок существен, АВ№ВА.) Итак, можно сказать, что матрица для стоящих друг за другом двух частей прибора — это матричное произведение матриц для этих двух приборов порознь (причем первый прибор стоит в произведении справа). И каждый, кто знает матричную алгебру, поймет, что речь идет просто об уравнении (3.36).

§ 7. Преобразование к другому базису

Мы хотим сделать одно заключительное замечание относи­тельно базисных состояний, используемых в расчетах. Предпо­ложим, мы захотели работать с каким-то определенным базисом, скажем с базисом S, а кто-то другой решает провести те же расчеты с другим базисом, скажем с базисом Т.

Для конкретности назовем наши базисные состояния состоя­ниями (iS), где i= +, 0, -, а его базисные состояния назовем (jT). Как сравнить его работу с нашей? Окончательные ответы для результатов любых измерений обязаны оказаться одинако­выми, но употребляемые в самих расчетах всевозможные мат­рицы и амплитуды будут другими.

Как же они соотносятся? К примеру, если оба мы начи­наем с одного и того же j, то мы опишем это j на языке трех амплитуд <iS|j> — амплитуд того, что j переходит в наши базисные состояния в представлении S, а он опишет это j ам­плитудами <|j> — амплитудами того, что состояние j переходит в базисные состояния в его, Т, представлении. Как проверить, что мы оба на самом деле говорим об одном и том же состоянии j? Это можно сделать с помощью нашего общего пра­вила II [см. (3.27)]. Заменяя cлюбым из его состояний jT, напишем

Чтобы связать оба. представления, нужно задать только девять комплексных чисел — матрицу <jT|iS>, Эту матрицу затем можно использовать для того, чтобы перевести все его урав­нения в нашу форму. Она сообщает нам, как преобразовать одну совокупность базисных состояний в другую. (По этой причине <jT|iS>иногда именуют «матрицей преобразования от представления S к представлению T». Слова ученые!)

Для случая частиц со спином 1, у которых бывает только тройка базисных состояний (у высших спинов их больше), математическая ситуация напоминает то, что мы видели в век­торной алгебре. Каждый вектор может быть представлен тремя числами — компонентами вдоль осей х, у и z. Иначе говоря, всякий вектор может быть разложен на три «базисных» вектора, т. е. векторы вдоль этих трех осей. Но предположим, что кто-то другой решает выбрать другую тройку осей: x', y' и z'. Чтобы представить любой частный вектор, он воспользуется другими (а не теми, что мы) числами. Его выкладки не будут похожи на наши, но окончательный итог окажется таким же. Мы это уже рассматривали раньше и знаем правила преобразования векто­ров от одной тройки осей к другой.

Вам может захотеться увидать, как действуют квантовомеханические преобразования, и самим попробовать их проде­лать; для этого мы приведем здесь без вывода матрицы преобра­зований амплитуд спина 1 от представления S к другому пред­ставлению Т для разных взаимных ориентации фильтров S и Т. (В следующих главах мы покажем, как получаются эти результаты.)

Первый случай. У прибора Т ось у (вдоль которой дви­жутся частицы)

та же самая, что и у S, но Т повернут вокруг общей оси у на угол а (на фиг. 3.6). (Чтобы быть точными, ука­жем, что в приборе Т установлена система координат х' , у', z', связанная с координатами х, у, z прибора S формулами z'=zcosa+хsina; х'=хcosa- zsina; у' = у.) Тогда ам­плитуды преобразований таковы:

(3.38)

Второй случай. Прибор Т имеет ту же ось г, что и S, но повернут относительно оси z на угол b. (Преобразование координат: z'=z; х' =xcosb+ysinb; у'=уcosb- хsinb.) Тогда амплитуды преобразований суть

(3.39)

Заметьте, что любые вращения Т можно составить из опи­санных двух вращений.

Если состояние j определяется тремя числами

и если то же состояние описывается с точки зрения Т тремя числами

тогда коэффициенты <jT| iS>из (3.38) и (3.39) дают преоб­разования, связывающие Сi и С'i. Иными словами. С; очень походят на компоненты вектора, который с точек зрения S и Т выглядит по-разному.

Только у частицы со спином 1 (потому что ей требуются как раз три амплитуды) есть такое тесное соответствие с векторами. Здесь во всех случаях имеется тройка чисел, которая обязана преобразовываться при изменениях координат определенным известным образом. И действительно, здесь есть и такая сово­купность базисных состояний, которая преобразуется в точ­ности, как три компоненты вектора. Три комбинации

преобразуются в С'х, С'у, С'zкак раз так же, как х, у, z преобра­зуются в х', у', z' . [Вы можете проверить это с помощью законов преобразований (3.38) и (3.39).] Теперь вы понимаете, почему частицу со спином 1 часто называют «векторной частицей».

§ 8. Другие случаи

Мы начали с того, что подчеркнули, что наши рассуждения о частице со спином 1 явятся прототипом любых квантовомеханических задач. Обобщения требует только количество состояний. Вместо тройки базисных состояний в других случаях может потребоваться n базисных состояний. Форма наших основных законов (3.27) останется той же, если только понимать, что i и j должны пробегать по всем n базисным состояниям. Любое явление можно проанализировать, задав амплитуды того, что оно начинается с любого базисного состояния и кончается тоже в любом базисном состоянии, а затем просуммировав по всей полной системе базисных состояний. Можно использовать лю­бую подходящую систему базисных состояний, и каждый впра­ве выбрать ту, которая ему по душе; связь между любой парой базисов осуществляется матрицей преобразований nXn. Позже мы подробнее расскажем об этих преобразованиях.

Поделиться:
Популярные книги

Ваше Сиятельство 3

Моури Эрли
3. Ваше Сиятельство
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Ваше Сиятельство 3

Сумеречный стрелок

Карелин Сергей Витальевич
1. Сумеречный стрелок
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Сумеречный стрелок

Ведьма и Вожак

Суббота Светлана
Фантастика:
фэнтези
7.88
рейтинг книги
Ведьма и Вожак

Темный Кластер

Кораблев Родион
Другая сторона
Фантастика:
боевая фантастика
5.00
рейтинг книги
Темный Кластер

Черный маг императора

Герда Александр
1. Черный маг императора
Фантастика:
юмористическая фантастика
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Черный маг императора

Убивать чтобы жить 2

Бор Жорж
2. УЧЖ
Фантастика:
героическая фантастика
боевая фантастика
рпг
5.00
рейтинг книги
Убивать чтобы жить 2

Не грози Дубровскому! Том VIII

Панарин Антон
8. РОС: Не грози Дубровскому!
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Не грози Дубровскому! Том VIII

Темный Патриарх Светлого Рода 6

Лисицин Евгений
6. Темный Патриарх Светлого Рода
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Темный Патриарх Светлого Рода 6

Газлайтер. Том 6

Володин Григорий
6. История Телепата
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
аниме
5.00
рейтинг книги
Газлайтер. Том 6

Обыкновенные ведьмы средней полосы

Шах Ольга
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.00
рейтинг книги
Обыкновенные ведьмы средней полосы

Сердце Дракона. Том 11

Клеванский Кирилл Сергеевич
11. Сердце дракона
Фантастика:
фэнтези
героическая фантастика
боевая фантастика
6.50
рейтинг книги
Сердце Дракона. Том 11

Ненастоящий герой. Том 1

N&K@
1. Ненастоящий герой
Фантастика:
боевая фантастика
попаданцы
рпг
5.00
рейтинг книги
Ненастоящий герой. Том 1

СД. Том 17

Клеванский Кирилл Сергеевич
17. Сердце дракона
Фантастика:
боевая фантастика
6.70
рейтинг книги
СД. Том 17

"Фантастика 2023-123". Компиляция. Книги 1-25

Харников Александр Петрович
Фантастика 2023. Компиляция
Фантастика:
боевая фантастика
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Фантастика 2023-123. Компиляция. Книги 1-25