Чтение онлайн

на главную

Жанры

Фейнмановские лекции по физике. 9. Квантовая механика II
Шрифт:

Волна может двигаться либо к положительным, либо к отрица­тельным х, смотря по тому, какой знак выбран для k.

Заметьте, что мы предположили, что поставленное в нашем пробном решении (11.10) число k есть число вещественное. Теперь видно, почему в бесконечной цепочке атомов так и долж­но быть. Пусть k было бы мнимым числом —ik'. Тогда амплитуды аnменялись бы, как

, что означало бы, что амплитуда растет все выше и выше, когда х возрастает, или при k' отрицательном, когда х становится большим отрицательным числом. Такой вид решения был бы вполне хорош, если бы цепочка атомов на чем-то кончалась, но в бесконечной цепи атомов это не может быть
фи­зическим решением. Оно привело бы к бесконечным амплиту­дам и, стало быть, к бесконечным вероятностям, которые не могут отражать действительного положения вещей. Позже мы встретимся с примером, когда и у мнимых k есть смысл.

Соотношение (11.13) между энергией Е и волновым числом k изображено на фиг. 11.3.

Фиг. 11.3. Энергия стационарных состояний как функция параметра k.

Как следует из этого рисунка, энергия может меняться от Е02А при k=0 до Е0+ при k=±p//b. График начерчен для положительных А, при отрица­тельных А кривую пришлось бы перевернуть, но область изменения осталась бы прежней. Существенно то, что в некоторой области, или «полосе» энергий допустимы любые значения энергии; вне полосы энергии быть не может. Из наших пред­положений следует, что если электрон в кристалле находится в стационарном состоянии, энергия его не сможет оказаться вне этой полосы.

Согласно (11.10), меньшие k отвечают более низким энергети­ческим состояниям Е»Е02А. Когда k по величине растет (все равно, в положительную или отрицательную сторону), то энергия сперва растет, а потом при kp//b достигает ма­ксимума, как показано на фиг. 11.3. Для k, больших, чем p//b, энергия опять начала бы убывать. Но такие k рассматривать не стоит, они не приведут к каким-либо новым состояниям, а просто повторяют те состояния, которые уже появлялись при меньших k. Вот как в этом можно убедиться. Рассмотрим со­стояние наинизшей энергии, для которого k=0. Тогда при всех хnкоэффициент а (хn) будет один и тот же [см. (11.10)1. Та же самая энергия получилась бы и при k= 2p//b. Тогда из

(11.10) следовало бы

Но, считая, что начало координат приходится на х0, можно по­ложить хn= nb, и тогда а (хn) превратится в

т. е. состояние, описываемое этими а (хn), физически ничем не будет отличаться от состояний при k=0. Оно не представляет особого решения.

В качестве другого примера возьмем k=p/4b. Веществен­ная часть а (хn) изображена на фиг. 11.4 кривой 1.

Фиг. 11.4. Пара значений к, представляющих одну и ту же физическую ситуацию. Кривая 1—для k=p/4b, кривая 2 —для k=7p/4b.

Если бы k было в семь раз больше (k=7p//4b), то вещественная часть а (хn) менялась бы так, как показано на кривой 2. (Сама коси­нусоида смысла не имеет, важны только ее значения в точках хn.

Кривые нужны просто для того, чтобы было видно, как все меняется.) Вы видите, что оба значения k во всех хnдают одинаковые амплитуды.

Вывод из всего этого состоит в том, что все возможные реше­ния нашей задачи получатся, если взять k только из некоторой ограниченной области. Мы выберем область от -p/b до +p/b (она показана на фиг. 11.3). В этой области энергия стационар­ных состояний с ростом абсолютной величины k возрастает.

Еще одно побочное замечание о том, с чем было бы забавно повозиться. Представьте, что электрон может не только пере­прыгивать к ближайшим соседям с амплитудой iA/h, но имеет еще возможность одним махом перепрыгивать и к следующим за ними соседям с некоторой другой амплитудой iB/h. Вы опять обнаружите, что решение можно искать в форме ап=eikx, этот тип решений является универсальным. Вы также увидите, что стационарные состояния с волновым числом k имеют энер­гию E0– 2Acos kb-2Bcos2kb. Это означает, что форма кривой Е как функции k не универсальна, а зависит от тех частных до­пущений, при которых решается задача. Это не обязательно косинусоида, и она даже не обязательно симметрична относи­тельно горизонтальной оси. Но зато всегда верно, что кривая вне интервала (-p/b, p/b) повторяется, так что заботиться о других значениях k не нужно.

Посмотрим еще внимательнее на то, что происходит при малых k, когда вариации амплитуд между одним хnи соседним очень маленькие. Будем отсчитывать энергию от такого уровня, чтобы было Е0=2А; тогда минимум кривой фиг. 11.3 придется на нуль энергии. Для достаточно малых k можно написать

и энергия (11.13) превратится в

Получается, что энергия состояния пропорциональна квадрату волнового числа, описывающего пространственные вариации

амплитуд Сn.

§ 3. Состояния, зависящие от времени

В этом параграфе мы хотим подробнее обсудить поведение состояний в одномерной решетке. Если для электрона амплитуда того, что он окажется в хn, равна Сn, то вероятность найти его там будет |Сn|2. Для стационарных состояний, описанных уравнением (11.12), эта вероятность при всех хnодна и та же и со временем не меняется. Как же отобразить такое положение вещей, кото­рое грубо можно было бы описать, сказав, что электрон определенной энергии сосредоточен в определенной области, так что более вероятно найти его в каком-то одном месте, чем в другом? Этого можно добиться суперпозицией нескольких решений, похожих на (11.12), но со слегка различными значениями k и, следовательно, с различными энергиями. Тогда, по крайней мере при t=0, амплитуда Сnвследствие интерференции раз­личных слагаемых будет зависеть от местоположения, в точности так же, как получаются биения, когда имеется смесь волн раз­ной длины [см. гл. 48 (вып. 4)]. Значит, можно составить такой «волновой пакет», что в нем будет преобладать волновое число k0, но будут присутствовать и другие волновые числа, близкие к k0.

В нашей суперпозиции стационарных состояний амплитуды с разными k будут представлять состояния со слегка различ­ными энергиями и, стало быть, со слегка различными частотами; интерференционная картина суммарного Сnпоэтому тоже будет меняться во времени, возникнет картина «биений». Как мы ви­дели в гл. 48 (вып. 4), пики биений [места, где |С(xn)|2наи­большие] с течением времени начнут двигаться по х; скорость их движения мы назвали «групповой». Мы нашли, что эта груп­повая скорость связана с зависимостью k от частоты формулой

Поделиться:
Популярные книги

Последняя жена Синей Бороды

Зика Натаэль
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.00
рейтинг книги
Последняя жена Синей Бороды

Найди меня Шерхан

Тоцка Тала
3. Ямпольские-Демидовы
Любовные романы:
современные любовные романы
короткие любовные романы
7.70
рейтинг книги
Найди меня Шерхан

Месть Паладина

Юллем Евгений
5. Псевдоним `Испанец`
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
7.00
рейтинг книги
Месть Паладина

В теле пацана 6

Павлов Игорь Васильевич
6. Великое плато Вита
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
5.00
рейтинг книги
В теле пацана 6

Сфирот

Прокофьев Роман Юрьевич
8. Стеллар
Фантастика:
боевая фантастика
рпг
6.92
рейтинг книги
Сфирот

Не грози Дубровскому! Том Х

Панарин Антон
10. РОС: Не грози Дубровскому!
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Не грози Дубровскому! Том Х

Последний реанорец. Том I и Том II

Павлов Вел
1. Высшая Речь
Фантастика:
фэнтези
7.62
рейтинг книги
Последний реанорец. Том I и Том II

Я — Легион

Злобин Михаил
3. О чем молчат могилы
Фантастика:
боевая фантастика
7.88
рейтинг книги
Я — Легион

Начальник милиции 2

Дамиров Рафаэль
2. Начальник милиции
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Начальник милиции 2

(Не)свободные, или Фиктивная жена драконьего военачальника

Найт Алекс
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.00
рейтинг книги
(Не)свободные, или Фиктивная жена драконьего военачальника

Курсант: Назад в СССР 11

Дамиров Рафаэль
11. Курсант
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Курсант: Назад в СССР 11

Совпадений нет

Безрукова Елена
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.50
рейтинг книги
Совпадений нет

Вечный. Книга V

Рокотов Алексей
5. Вечный
Фантастика:
боевая фантастика
попаданцы
рпг
5.00
рейтинг книги
Вечный. Книга V

Жена по ошибке

Ардова Алиса
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
7.71
рейтинг книги
Жена по ошибке