Чтение онлайн

на главную

Жанры

Фейнмановские лекции по физике. 9. Квантовая механика II
Шрифт:

Исходим из системы уравнений, похожей на (11.6), за одним исключением: уравнение при n=0 не похоже на остальные. Пятерка уравнений при n=-2,-1, 0, +1 и +2 выглядит так:

Конечно, будут и другие уравнения при |n|>2. Они будут выгля­деть так же, как (11.6).

Нам полагалось бы на самом деле для общности писать разные А, в зависимости от того, прыгает ли электрон к атому «нуль» или же от атома «нуль», но главные черты того, что происходит, вы увидите уже из упрощенного примера, когда все А равны.

Уравнение (11.10)

по-прежнему будет служить решением Для всех уравнений, кроме уравнения для атома «нуль» (для него оно не годится). Нам нужно другое решение; соорудим его так. Уравнение (11.10) представляет волну, бегущую в поло­жительном направлении х. Волна, бегущая в отрицательном направлении х, тоже подошла бы в качестве решения. Мы бы написали

Самое общее решение уравнения (11.6) представляло бы собой сочетание волны вперед и волны назад:

Это решение представляет комплексную волну с амплитудой а, бегущую в направлении +х, и волну с амплитудой b, бегущую в направлении -х.

Теперь бросим взгляд на систему уравнений нашей новой задачи: на (11.28) плюс такие же уравнения для остальных атомов. Уравнения, куда входят аn с nЈ-1, решаются форму­лой (11.29) при условии, что k оказывается связанным с Е и постоянной решетки b соотношением

E=E0– 2Acoskb. (11.30)

Физический смысл этого таков: «падающая» волна с амплитудой a приближается к атому «нуль» (или «рассеивателю») слева, а «рассеянная» или «отраженная» волна с амплитудой b бежит обратно, т. е. налево. Не теряя общности, можно положить амплитуду a падающей волны равной единице. Тогда ампли­туда b будет, вообще говоря, комплексным числом.

То же самое можно сказать и о решениях аnпри 1. Коэф­фициенты могут стать иными, так что следовало бы писать

Здесь g — амплитуда волны, бегущей направо, а d — амплитуда волны, приходящей справа. Мы хотим рассмотреть такой физический случай, когда вначале волна бежит только слева, и за рассеивателем (или атомом загрязнения) имеется только «прошедшая» волна. Будем поэтому искать решение, в котором d=0. Стало быть, мы попытаемся удовлетворить всем уравне­ниям для аn, кроме средней тройки в (11.28), с помощью сле­дующих пробных решений:

Положение, о котором идет речь, иллюстрируется фиг. 11.6.

Фиг. 11.6. Волны в одномерной решетке а одним «примесным» атомом в n=0.

Используя формулы (11.32) для а– 1и а+1, можно из сред­ней тройки уравнений (11.28) найти а0 и два коэффициента b и g. Таким образом, мы найдем полное решение. Надо решить три уравнения (полагая xn=nb):

Вспомните,

что (11.30) выражает E через k. Подставьте это значение Е в уравнения и учтите, что

тогда из первого уравнения получится

a0=1+b, (11.34)

а из третьего

a0=g, (11.35)

что согласуется друг с другом только тогда, когда

g=1+b. (11.36)

Это уравнение сообщает нам, что прошедшая волна (g) — это просто исходная падающая волна (1) плюс добавочная волна (b), равная отраженной. Это не всегда так, но при рассеянии на одном только атоме оказывается, что это так. Если бы у вас была целая группа атомов примеси, то величина, добавляемая к волне, бегущей вперед, не обязательно вышла бы такой же, как у отраженной волны.

Амплитуду b отраженной волны мы можем получить из среднего из уравнений (11.33); окажется, что

Мы получили полное решение для решетки с одним необычным

атомом.

Вас могло удивить, отчего это проходящая волна оказа­лась «выше», чем падавшая, если судить по уравнению (11.34). Но вспомните, что b и gчисла комплексные и что число частиц в волне (или, лучше сказать, вероятность обнаружить частицу) пропорционально квадрату модуля амплитуды. В дей­ствительности «сохранение числа электронов» будет выполнено лишь при условии

|b|2+|g|2=1. (11.38)

Попробуйте показать, что в нашем решении так оно и есть.

§ 7. Захват нерегулярностями решетки

Бывает и другой интересный случай. Он может возникнуть, когда F число отрицательное. Если энергия электрона в атоме примеси (при n=0) ниже, чем где-либо в другом месте, то электрон может оказаться захваченным этим атомом. Иначе говоря, если Е0+F ниже самого низа полосы (меньше, чем Е02А), тогда электрон может оказаться «пойманным» в со­стояние с Е<Е02А. Из всего того, что мы делали до сих пор, такое решение не могло получиться. Но это решение можно получить, если в пробном решении (11.15) разрешить k прини­мать мнимые значения. Положим k = ix. Для n<0 и для n>0 у нас опять будут разные решения. Для n>0 допустимое решение могло бы иметь вид

В экспоненте мы выбрали плюс; иначе амплитуда при больших отрицательных n стала бы бесконечно большой. Точно так же допустимое решение для n>0 имело бы вид

Если подставить эти пробные решения в (11.28), то они удов­летворят всем уравнениям, кроме средней тройки, при условии, что

А раз сумма этих двух экспонент всегда больше 2, то эта энергия оказывается за пределами (ниже) обычной полосы. Это-то мы и искали. Оставшейся тройке уравнений (11.28) удастся удовлетворить, если взять с = с' и если к выбрать так, чтобы

Поделиться:
Популярные книги

Невеста

Вудворт Франциска
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
эро литература
8.54
рейтинг книги
Невеста

Энфис 4

Кронос Александр
4. Эрра
Фантастика:
городское фэнтези
рпг
аниме
5.00
рейтинг книги
Энфис 4

Игрок, забравшийся на вершину. Том 8

Михалек Дмитрий Владимирович
8. Игрок, забравшийся на вершину
Фантастика:
фэнтези
рпг
5.00
рейтинг книги
Игрок, забравшийся на вершину. Том 8

Папина дочка

Рам Янка
4. Самбисты
Любовные романы:
современные любовные романы
5.00
рейтинг книги
Папина дочка

Чужое наследие

Кораблев Родион
3. Другая сторона
Фантастика:
боевая фантастика
8.47
рейтинг книги
Чужое наследие

Идеальный мир для Социопата 7

Сапфир Олег
7. Социопат
Фантастика:
боевая фантастика
6.22
рейтинг книги
Идеальный мир для Социопата 7

Восход. Солнцев. Книга VIII

Скабер Артемий
8. Голос Бога
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Восход. Солнцев. Книга VIII

Аномальный наследник. Том 1 и Том 2

Тарс Элиан
1. Аномальный наследник
Фантастика:
боевая фантастика
альтернативная история
8.50
рейтинг книги
Аномальный наследник. Том 1 и Том 2

Мир-о-творец

Ланцов Михаил Алексеевич
8. Помещик
Фантастика:
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Мир-о-творец

Совок 9

Агарев Вадим
9. Совок
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
7.50
рейтинг книги
Совок 9

Инцел на службе демоницы 1 и 2: Секса будет много

Блум М.
Инцел на службе демоницы
Фантастика:
фэнтези
5.25
рейтинг книги
Инцел на службе демоницы 1 и 2: Секса будет много

Кодекс Крови. Книга Х

Борзых М.
10. РОС: Кодекс Крови
Фантастика:
фэнтези
юмористическое фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Кодекс Крови. Книга Х

Бальмануг. (Не) Любовница 2

Лашина Полина
4. Мир Десяти
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.00
рейтинг книги
Бальмануг. (Не) Любовница 2

Любовь Носорога

Зайцева Мария
Любовные романы:
современные любовные романы
9.11
рейтинг книги
Любовь Носорога