Фейнмановские лекции по физике. 9. Квантовая механика II

Фейнман Ричард Филлипс

Фиг. 12.7. Измерение эффекта Холла.

Знак разности потенциа­лов, отмечаемый вольтметром, будет зависеть от знака носите­лей зарядов, ответственных за ток.

Когда впервые ставились эти опыты, считалось, что знак разности потенциалов окажется отрицательным, как и поло­жено отрицательным электронам проводимости. Поэтому все были очень удивлены, обнаружив, что у некоторых веществ знак разности потенциалов совсем не тот. Дело выглядело так, словно носитель тока — частица с положительным знаком. Из наших рассуждений о примесных полупроводниках ясно, что полупроводник n– типа обязан вызывать знак разности потен­циалов, свойственный отрицательным носителям, а полупро­водник p– типа должен вызывать разность потенциалов противо­положного знака, поскольку ток создается

положительно заря­женными дырками.

Открытие аномального знака разности потенциалов в эффек­те Холла сначала было сделано не в полупроводнике, а в ме­талле. Считалось, что уж в металлах-то проводимостью всегда занимаются электроны, и вдруг оказалось, что у бериллия знак разности потенциалов не тот. Теперь ясно, что в металлах, как и в полупроводниках, при некоторых обстоятельствах «объектами», ответственными за проводимость, оказываются дырки. Хотя в конечном счете в кристалле движутся электроны, тем не менее соотношение между импульсом и энергией и отклик на внешнее поле в точности такие, каких следовало бы ожидать, если бы электрический ток осуществлялся положительными частицами.

Поглядим, нельзя ли качественно оценить, какая разность потенциалов может быть получена при эффекте Холла. Если ток через вольтметр (см. фиг. 12.7) пренебрежимо мал, то заряды внутри полупроводника должны двигаться слева направо и вертикальная магнитная сила должна в точности гаситься вертикальным электрическим полем, которое мы обозначим x₊ (индекс означает «поперечный»). Чтобы это электрическое поле уничтожало магнитные силы, должно быть

Припоминая связь между скоростью дрейфа и плотностью электрического тока, приведенную в (12.6), получаем

Разность потенциалов между верхом и низом кристалла равна, естественно, этой самой напряженности электрического поля, умноженной на высоту кристалла. Напряженность электриче­ского поля в кристалле x₊ пропорциональна плотности тока и напряженности магнитного поля. Множитель пропорциональ­ности 1/qN называется коэффициентом Холла и обычно изобра­жается символом R_H. Коэффициент Холла зависит просто от плотности носителей при условии, что носители одного знака находятся в явном большинстве. Поэтому измерение эффекта Холла дает удобный способ опытным путем определять плот­ность носителей в полупроводнике.

§ 4. Переходы между полупроводниками

Теперь мы хотим выяснить, что получится, если взять два куска германия или кремния с неодинаковыми внутренними характеристиками, скажем с разным количеством примеси, и приложить их друг к другу, чтобы возник «переход». Начнем с того, что именуется p—n– переходом, когда с одной стороны границы стоит германий p– типа, а с другой — германий n– типа (фиг. 12.8).

Фиг. 12.8. p — n-переход.

Практически не очень удобно прикладывать друг к другу два разных куска германия и добиваться однородности контакта между ними на атомном уровне. Вместо этого переходы делают из одного кристалла, обработанного в разных концах по-разному. Один из приемов состоит в том, чтобы после того, как из расплава была выращена половинка кристалла, добавить в оставшийся расплав подходящую присадку. Другой способ — это нанести на поверхность немного примесного элемента и затем подогреть кристалл, чтобы часть атомов примеси продиффундировала в тело кристалла. У сделанных такими способами переходов нет резкой границы, хотя сами границы могут быть сделаны очень тонкими — до 10^{– 4} см. Для наших рассуждений мы вообразим идеальный случай, когда эти две области кристалла с разными свойствами резко разграничены. В n– области p—n– перехода имеются свободные электроны, которые могут переходить с места на место, а также фиксиро­ванные донорные узлы, которые уравновешивают полный электрический заряд. В p– области имеются свободные дырки, тоже переходящие с места на место, и равное количество отри­цательных акцепторных узлов, гасящих полный заряд. Но в дей­ствительности такое описание положения вещей годится лишь до тех пор, пока между материалами не осуществлен контакт. Как только материалы соединятся, положение на границе из­менится. Теперь, достигнув границы в материале n– типа, элект­роны не отразятся обратно, как это было бы на свободной по­верхности, а смогут прямо перейти в материал p– типа. Часть электронов из материала n– типа поэтому будет стремиться про­скользнуть в материал p– типа, где электронов меньше. Но так длиться без конца не может, потому что по мере того, как в n– области будут теряться электроны, ее заряд начнет стано­виться все более положительным, пока не возникнет электри­ческое напряжение, которое затормозит диффузию электронов в p– область. Подобным же образом положительные но­сители из материала p– типа смогут проскальзывать через переход в материал n– типа, оставляя позади себя избы­ток отрицательного заряда. В условиях равновесия пол­ный ток диффузии должен будет равняться нулю. Это произойдет благодаря возни­кновению электрических полей, которые установятся таким образом, чтобы возвращать положительные носители обратно в p– область.

Оба описанных нами процесса диффузии продолжаются одно­временно, и оба, как видите, действуют в таком направлении, чтобы материал n– типа зарядить положительно, а материал p– типа — отрицательно. Вследствие конечной проводимости полупроводящих материалов изменение потенциала между p– областью и n– областью произойдет в сравнительно узком участке близ границы; в основной же массе каждой области потенциал будет однороден. Проведем перпендикулярно гра­нице ось х. Тогда электрический потенциал будет меняться с х так, как показано на фиг. 12.9,б.

Фиг. 12,9. Электрический по­тенциал и плотности носителей в полупроводниковом переходе без смещающего напряжения.

На фиг. 12.9,в показано ожи­даемое изменение плотности N_n n– носителей и плотности N_{pp– носителей. Вдали от перехода плотности носителей Npи Nnдолжны быть попросту равны той равновесной плотности, кото­рой положено устанавливаться в определенном бруске того же материала при той же температуре. (Фиг. 12.9 вычерчена для перехода, в котором в материале p– типа примеси больше, чем в материале n– типа.) Из-за перепада потенциала на переходе положительным носителям приходится взбираться на потен­циальный холм, чтобы попасть в p– область. Это означает, что в условиях равновесия в материале re-типа будет меньше поло­жительных носителей, чем в материале p– типа. Можно ожидать (вспомните законы статистической механики), что отношение количеств носителей p– типа в обеих областях будет даваться уравнением}

Произведение q_pV в числителе показателя экспоненты — это как раз та энергия, которая требуется, чтобы пронести заряд q_pсквозь разность потенциалов V.

Точно такое же уравнение существует и для плотностей но­сителей n– типа:

Если мы знаем равновесные плотности в каждом из двух мате­риалов, то любое из этих уравнений даст нам разность потен­циалов на переходе.

Заметьте, что для того, чтобы (12.10) и (12.11) давали оди­наковые значения разности потенциалов V, произведение N_pN_nдолжно быть в p– области и в n– области одним и тем же.

Фаг. 12.11. Распределение по­тенциала вдоль транзистора, если не приложено напряжение.