Чтение онлайн

на главную

Жанры

Фейнмановские лекции по физике. 9. Квантовая механика II
Шрифт:

Фиг. 13.1. Базисное состояние |x5> системы спинов, расположенных по одной линии.

Все спины направлены вверх, а тот, что в х 5 , перевернут.

Вообще, |хn> будет обозначать состояние с одним перевернутым спином, рас­положенным в координате хn n– гоатома.

Как же действует гамильтониан (13.5)

на состояние |x5>? Один из членов гамильтониана это, скажем, — А (Р^7,8– 1). Оператор P^7,8 обменивает спинами два соседних атома № 7 и № 8. Но в состоянии |x5> они оба направлены вверх, так что ничего не меняется; Р^7,8 равнозначно умножению на единицу:

Отсюда следует

Стало быть, все члены гамильтониана, кроме тех, куда вхо­дит атом № 5, дадут нуль. Операция P^4,5, действуя на со­стояние |x5>, обменивает спинами атом № 4 (со спином вверх) и атом № 5 (со спином вниз). В результате появляется со­стояние, в котором все спины смотрят вверх, кроме атома в точке 4. Иначе говоря,

Точно так же

Значит, изо всего гамильтониана выживут только члены

Действуя на |x5>, они дадут соответственно

В итоге

Когда гамильтониан действует на состояние |x5>, то возни­кает некоторая амплитуда оказаться в состояниях | x4> и |х6>. Это просто означает, что существует определенная амплитуда того, что направленный книзу спин перепрыгнет к соседнему атому. Значит, из-за взаимодействия между спинами, если вна­чале один спин был направлен вниз, имеется некоторая ве­роятность того, что позднее вместо него вниз будет смотреть другой. При действии на состояние | хn>гамильтониан дает

Заметьте, в частности, что если взять полную систему состоя­ний только с одним спином-«перевертышем», то они будут перемешиваться только между собой. Гамильтониан никогда не перемешает эти состояния с другими, в которых спинов-«перевертышей» больше. Пока вы только обмениваетесь спинами, вы никогда не сможете изменить общего количества перевертышей. Удобно будет использовать для гамильтониана матричное обозначение, скажем,

уравнение (13.7) эквивалентно следующему:

Каковы же теперь уровни энергии для состояний с одним перевернутым спином? Пусть, как обычно, Сn— амплитуда того, что некоторое состояние |y> находится в состоянии |xn>. Если мы хотим, чтобы |y> было состоянием с определенной энергией, то все Сnобязаны одинаково меняться со временем, а именно по правилу

Подставим это пробное решение в наше обычное уравнение Гамильтона

используя в качестве матричных элементов (13.8). Мы, конечно, получим бесконечное количество уравнений, но все их можно будет записать в виде

Перед нами опять в точности та же задача, что и в гл. 11, только там, где раньше стояло Е0, теперь стоит 2А. Решения отвечают амплитудам Сn(амплитудам с перевернутым спином), которые распространяются вдоль решетки с константой распростране­ния k и энергией

Е=2A(1-coskb), (13.12)

где b — постоянная решетки.

Решения с определенной энергией отвечают «волнам» перево­рота спина, называемым «спиновыми волнами». И для каждой длины волны имеется соответствующая энергия. Для больших длин волн (малых k) эта энергия меняется по закону

Е=Аb2k2. (13.13)

Как и прежде, мы можем теперь взять локализованный волно­вой пакет (содержащий, однако, только длинные волны), кото­рый соответствует тому, что электрон-«перевертыш» окажется в такой-то части решетки. Этот перевернутый спин будет вести себя как «частица». Так как ее энергия связана с k формулой (13.13), то эффективная масса «частицы» будет равна

Такие «частицы» иногда именуют «магнонами».

§ 2. Две спиновые волны

Теперь мы хотели бы выяснить, что происходит, когда име­ется пара перевернутых спинов. Опять начнем с выбора системы базисных состояний. Выберем такие состояния, когда спины перевернуты в каких-то двух местах (так, как на фиг. 13.2).

Фиг. 13.2. Состояния с двумя переверну­тыми спинами.

Эти состояния можно, скажем, отмечать x– координатами тех двух узлов решетки, в которых оказались электроны с пе­ревернутым спином. То, что на рисунке, можно обозначить |х2, х5>. В общем случае базисные состояния будут |хn, хm>— дважды бесконечная совокупность! При таком способе описания состояние | x4, х9> и состояние | х9, x4> совпадают, потому что каждое из них просто говорит, что в точках 4 и 9 спин перевер­нут; порядок их не имеет значения. Не имеет также смысла состояние | x4, х4>такого просто быть не может. Любое со­стояние |y> мы можем описать, задав амплитуды того, что оно обнаружится в одном из базисных состояний.

Поделиться:
Популярные книги

Идеальный мир для Лекаря 19

Сапфир Олег
19. Лекарь
Фантастика:
юмористическое фэнтези
аниме
5.00
рейтинг книги
Идеальный мир для Лекаря 19

Вперед в прошлое 6

Ратманов Денис
6. Вперед в прошлое
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Вперед в прошлое 6

Назад в ссср 6

Дамиров Рафаэль
6. Курсант
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
6.00
рейтинг книги
Назад в ссср 6

Дурашка в столичной академии

Свободина Виктория
Фантастика:
фэнтези
7.80
рейтинг книги
Дурашка в столичной академии

Кодекс Крови. Книга Х

Борзых М.
10. РОС: Кодекс Крови
Фантастика:
фэнтези
юмористическое фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Кодекс Крови. Книга Х

Идеальный мир для Социопата 6

Сапфир Олег
6. Социопат
Фантастика:
боевая фантастика
рпг
6.38
рейтинг книги
Идеальный мир для Социопата 6

Как я строил магическую империю 2

Зубов Константин
2. Как я строил магическую империю
Фантастика:
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Как я строил магическую империю 2

Попаданка в деле, или Ваш любимый доктор - 2

Марей Соня
2. Попаданка в деле, или Ваш любимый доктор
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
7.43
рейтинг книги
Попаданка в деле, или Ваш любимый доктор - 2

Шведский стол

Ланцов Михаил Алексеевич
3. Сын Петра
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Шведский стол

"Фантастика 2024-104". Компиляция. Книги 1-24

Михайлов Дем Алексеевич
Фантастика 2024. Компиляция
Фантастика:
боевая фантастика
5.00
рейтинг книги
Фантастика 2024-104. Компиляция. Книги 1-24

В зоне особого внимания

Иванов Дмитрий
12. Девяностые
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
В зоне особого внимания

Авиатор: назад в СССР 11

Дорин Михаил
11. Покоряя небо
Фантастика:
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Авиатор: назад в СССР 11

Наследник старого рода

Шелег Дмитрий Витальевич
1. Живой лёд
Фантастика:
фэнтези
8.19
рейтинг книги
Наследник старого рода

Идеальный мир для Лекаря

Сапфир Олег
1. Лекарь
Фантастика:
фэнтези
юмористическое фэнтези
аниме
5.00
рейтинг книги
Идеальный мир для Лекаря