Фейнмановские лекции по физике. 9. Квантовая механика II

Фейнман Ричард Филлипс

Когда к полупроводнику добавлена донорная или акцептор­ная примесь, мы говорим о «примесном» полупроводнике.

Когда кристалл германия с некоторым количеством внедрен­ной донорной примеси находится при комнатной температуре, то электроны проводимости поставляются как донорными узлами, так и путем рождения электронно-дырочных пар за счет тепловой энергии. Естественно, электроны от обоих источников вполне эквивалентны друг другу, и в игру статистических про­цессов, ведущих к равновесию, входит их полное число N_n. Если температура не слишком низкая, то число отрицательных носи­телей, поставляемых атомами донорной примеси, примерно равно количеству имеющихся атомов примеси. При равновесии уравнение (12.4) еще обязано соблюдаться; произведение N_nN_pпри данной температуре есть вполне определенное

число.

Это означает, что добавление донорной примеси, которое увели­чивает число N_n, вызывает такое уменьшение количества N_{pположительных носителей, что NnNpне изменяется. Если кон­центрация примеси достаточно высока, то число Nnотрицатель­ных носителей определяется количеством донорных узлов и почти не зависит от температуры — все изменения в экспоненте происходят за счет Nр, даже если оно много меньше Nn. В чи­стом в других отношениях кристалле с небольшой концентра­цией донорной примеси будут преобладать отрицательные носи­тели; такой материал называется полупроводником «n– типа».}

Если в кристаллической решетке добавлена примесь акцеп­торного типа, то кое-какие из новых дырок, блуждая, начнут аннигилировать с некоторыми свободными электронами, соз­даваемыми тепловыми флуктуациями. Это будет продолжаться до тех пор, пока не выполнится уравнение (12.4). В равновес­ных условиях количество положительных носителей возрастает, а количество отрицательных убывает, поддерживая произведе­ние постоянным. Материал с избытком положительных носите­лей называется полупроводником «p– типа».

Если к полупроводниковому кристаллу приложить пару электродов и присоединить их к источнику разницы потенциа­лов, то внутри кристалла появится электрическое поле. Оно вынудит двигаться положительные и отрицательные носители, и потечет электрический ток. Посмотрим сперва, что прои­зойдет в материале n– типа, в котором имеется подавляющее большинство отрицательных носителей. В таком материале дырками можно пренебречь; они очень слабо скажутся на токе, потому что их мало. В идеальном кристалле при конечной тем­пературе (а особенно в кристалле с примесями) электроны пере­мещаются не совсем беспрепятственно. С ними беспрерывно происходят столкновения, которые сбивают их с намеченного ими пути, т. е. меняют их импульс. Эти столкновения — те самые рассеяния, о которых мы толковали в предыдущей главе и которые происходят на неровностях кристаллической решетки. В материале re-типа главной причиной рассеяния служат те самые донорные узлы, которые поставляют носителей. Раз у электронов проводимости энергия на донорных узлах немного иная, то волны вероятности обязаны на этом месте рассеиваться. Но даже в идеально чистом кристалле бывают (при ненулевой температуре) нерегулярности решетки, вызванные тепловыми колебаниями. С классической точки зрения можно говорить, что атомы не выстроены точно в правильную решетку, а в любое мгновение немного сдвинуты со своих мест по причине тепловых колебаний. Энергия Е₀, связывавшаяся по теории, изложенной в гл. 11, с каждой точкой решетки, чуть-чуть меняется от одного места к другому, так что волны амплитуды вероятности не передаются идеально, а каким-то неправильным образом рассеиваются. И при очень высоких температурах или для очень чистых веществ такое рассеяние может стать очень важным, но в большинстве примесных полупроводников, применяемых в практических устройствах, рассеяние происходит только за счет атомов примеси. Мы сейчас оценим величину электриче­ской проводимости в таких веществах.

Если к полупроводнику n– типа приложить электрическое поле, то каждый отрицательный носитель приобретет в этом поле ускорение, набирая скорость до тех пор, пока не рассеется на одном из донорных узлов. Это означает, что носители, кото­рые обычно движутся случайным образом, имея при этом теп­ловую энергию, начнут в среднем повышать свою скорость дрей­фа вдоль линий электрического поля, вызвав ток через кристалл. Скорость дрейфа, как правило, по сравнению с типич­ными тепловыми скоростями очень мала, так что можно, прики­дывая величину тока, принять, что от столкновения к столкно­вению среднее время странствий носителя постоянно. Допустим, что эффективный электрический заряд отрицательного носителя равен q_n. Сила, действующая на носитель в электрическом поле x, будет равна q_nx. В гл. 43, §3 (вып. 4) мы как раз подсчиты­вали среднюю скорость дрейфа в таких условиях и нашли, что она равна Ft/m, где F — сила, действующая на заряд; t — среднее время свободного пробега между столкновениями, а m— масса.

Вместо нее надо поставить эффективную массу, которую мы подсчитывали в предыдущей главе, но поскольку нас интересует только грубый расчет, то предположим, что эта эффективная масса во всех направлениях одинакова. Мы ее здесь обозначим m_n. В этом приближении средняя скорость дрейфа будет равна

Зная скорость дрейфа, можно найти ток. Плотность электриче­ского тока j равна просто числу носителей в единице объема, N_n, умноженному на среднюю скорость дрейфа и на заряд носи­телей. Поэтому плотность тока равна

Мы видим, что плотность тока пропорциональна электриче­скому полю; такие полупроводниковые материалы подчиняются закону Ома. Коэффициент пропорциональности между j и x, или проводимость s, равен

Для материалов n– типа проводимость в общем не зависит от температуры. Во-первых, общее число основных носителей N_{nопределяется главным образом плотностью доноров в кристалле (пока температура не настолько низка, чтобы позволять атомам захватить чересчур много носителей), а, во-вторых, среднее время от соударения к соударению, tn, регулируется главным образом плотностью атомов примеси, а она, ясное дело, от тем­пературы не зависит.}

Те же рассуждения можно приложить к веществу p-типа, переменив только значения параметров, которые появляются в (12.7). Если в одно и то же время имеется сравнимое количе­ство отрицательных и положительных носителей, то вклады носителей обоего рода надо сложить. Полная проводимость определится из

Для очень чистых веществ N_ри N_nпримерно равны. Они будут меньше, чем у материалов с примесями, так что и прово­димость будет меньше. Кроме того, они будут резко меняться с температурой (по закону

), так что проводи­мость с температурой может меняться чрезвычайно быстро.

§ 3. Эффект Холла

Конечно, это очень странно, что в веществе, где единствен­ными более или менее свободными объектами являются элект­роны, электрический ток вызывается дырками, которые ведут себя как положительные частицы. Мы хотим поэтому описать опыт, который довольно явно свидетельствует, что знак носи­теля электрического тока может быть положительным. Пусть имеется брусок, изготовленный из полупроводящего вещества (или из металла), и мы прикладываем к нему электрическое поле, чтобы вызвать ток в каком-то направлении, скажем в го­ризонтальном (фиг. 12.6).

Фиг. 12.6. Эффект Холла возникает при действии магнитных сил на носи­тели.

Сверху и снизу указаны знаки заряда при положительных и отрицательных (в скобках) носителях.

Пусть мы также приложили к бруску магнитное поле под прямым углом к току, скажем, чтобы оно уходило в плоскость чертежа. Движущиеся носители будут испытывать действие магнитной силы q(vXВ). А так как средняя скорость дрейфа направлена либо направо, либо на­лево (смотря по тому, каков знак заряда носителя), то дейст­вующая на носители средняя магнитная сила будет направлена либо вверх, либо вниз. Впрочем, нет! При выбранных нами направлениях тока и магнитного поля магнитная сила, дейст­вующая на движущийся заряд, всегда будет направлена вверх. Положительные заряды, движущиеся в направлении j (направо), подвергнутся действию силы, направленной вверх. А если ток переносится отрицательными зарядами, то они будут двигаться влево (при том же знаке тока проводимости) и также испыты­вают действие силы, направленной кверху. Но после установ­ления тока никакого движения носителей вверх не будет, по­тому что ток может течь только слева направо. Вначале не­сколько зарядов могут потечь вверх, образовав вдоль верхнего края полупроводника поверхностную плотность заряда и оста­вив равную по величине и обратную по знаку поверхностную плотность заряда на нижней грани кристалла. Заряды на верх­ней и нижней поверхностях будут накапливаться до тех пор, пока электрические силы, с которыми они действуют на движу­щиеся заряды, в точности погасят (в среднем) действие магнит­ной силы, и установившийся ток пойдет по горизонтали. Заряды на верхней и нижней поверхностях создадут по вертикали попе­рек кристалла разность потенциалов, которую можно измерить высокоомным вольтметром (фиг. 12.7).