Фейнмановские лекции по физике. 9. Квантовая механика II

Фейнман Ричард Филлипс

Итак, С_m,n=<х_m,х_n|y> теперь означает амплитуду того, что система в состоянии |y> окажется в состоянии, когда у электронов, стоящих вблизи m– го и n– го атомов, спины смотрят вниз. Сложности, которые теперь возникнут, будут связаны не с усложнением идей,— это будут просто усложнения в бухгалтерии. (Одна из сложностей квантовой механики как раз и состоит в громоздкости бухгалтерии. Чем больше спинов перевернется, тем сложнее станут обозначения, тем больше будет индексов, тем страшнее будут выглядеть уравнения; но сами идеи вовсе не обязательно должны усложниться.)

Уравнения движения спиновой системы — это дифферен­циальные уравнения для С_n,m:

Пусть

нам опять нужно найти стационарные состояния. Как обычно, производные по времени обратятся в Е, умноженное на амплитуду, a C_m,n, заменятся коэффициентами а_m,n. Затем надо аккуратно рассчитать влияние Н на состояние с перевернутыми спинами т и п. Это сделать нетрудно. Представьте на минуту, что т далеко от n, так что не нужно думать, что будет, если ... и т. д. Обменная операция, производимая в точке х_n, передвинет перевернутый спин либо к (n+1)-му, либо к (n– 1)-му атому, так что имеется ненулевая амплитуда того, что теперешнее состояние получилось из состояния |х_m, х_n+1>, и амплитуда того, что оно произошло из состояния |х_m, х_{n– 1}>. Но передви­нуться мог и второй спин, так что не исключена и какая-то амплитуда того, что С_m,nпитается от С_m+1,n или от С_{m– 1,n}. Все эти эффекты должны быть одинаковы. Окончательный вид гамильтонова уравнения для С_m.nтаков:

Это уравнение пригодно всегда, за исключением двух слу­чаев. При m=n уравнения вообще нет, а при m=n±1 пара членов в (13.16) должна пропасть. Этими исключениями мы пренебрежем. Мы просто будем игнорировать тот факт, что не­которые из этих уравнений слегка меняются. Ведь как-никак кристалл считается бесконечным и слагаемых в гамильтониане бесчисленно много; пренебрежение некоторым их числом вряд ли сильно на чем-то скажется. Итак, в первом грубом прибли­жении давайте позабудем об изменениях уравнений. Иными сло­вами, допустим, что (13.16) верно при всех m и n, даже когда m и n стоят по соседству. Это самое существенное в нашем прибли­жении.

Теперь уже решение отыскать нетрудно. Мы немедленно по­лучаем

где

а

Поразмыслим минутку о том, что было бы, если бы у нас были две независимые, отдельные спиновые волны (как в пре­дыдущем параграфе), соответствующие k=k₁и k=k₂; их энер­гии из (13.12) имели бы вид

и

Заметьте, что энергия Е в (13.19) является как раз их суммой:

Иными словами, наше решение можно толковать следующим образом. Имеются две частицы, т. е. пара спиновых волн, одна из которых обладает импульсом, описываемым числом k₁a другая — числом k₂; энергия системы равна сумме энергий этих двух объектов. Обе частицы действуют совершенно независи­мо. Вот и все, что в этом есть — и ничего больше.

Конечно, мы сделали некоторые приближения, но в данный момент мы не будем обсуждать точность нашего ответа. Вы, однако, чувствуете, что в кристаллах разумного размера с миллиардами атомов и, стало быть, с миллиардами слагаемых в гамильтониане большой ошибки от пренебрежения немногими слагаемыми не выйдет. Если бы, конечно, перевернутых спинов стало так много, что их плотность была бы заметной, то при­шлось бы позаботиться и о поправках.

(Интересно, что в случае, когда перевернутых спинов только два, можно написать и точное решение. Но результат особой важности не представляет. Просто интересно, что в этом случае уравнения можно решить точно. Решение таково:

с энергией

и с волновыми числами k_cи k, связанными с k₁ и k₂формулами

k₁= k_c– k, k₂=k_c+k. (13.22)

В этом решении отражено и «взаимодействие» пары спинов. Оно описывает тот факт, что когда спины сближаются, возникает какая-то вероятность их рассеяния. Поведение спинов очень по­хоже на взаимодействие частиц. Но подробная теория их рас­сеяния выходит за пределы того, о чем мы здесь собрались го­ворить.)

§ 3. Независимые частицы

В предыдущем параграфе мы написали гамильтониан (13.15) для двухчастичной системы. Затем, пользуясь приближением, эквивалентным пренебрежению каким-либо «взаимодействием» между двумя частицами, мы нашли стационарные состояния, описываемые формулами (13.17) и (13.18). Это состояние по­просту есть произведение двух одночастичных состояний. Но решение, которое мы написали для а_m,n[формула (13.18)], на самом деле удовлетворить нас не может. Мы с самого начала подчеркивали, что состояние | х₉, x₄> не отличается от состоя­ния |x₄, x₉), что порядок х_mи х_nневажен. Вообще говоря, алгеб­раическое выражение для амплитуды С_m,nне должно меняться от перестановки значений х_mи х_n, потому что она не изменяет состояния. В любом случае она будет представлять амплитуду того, что спин, направленный вниз, обнаружится в х_mи в х_n.

Но обратите внимание, что (13.18) несимметрично по х_mи х_n, поскольку k₁и k₂, вообще говоря, различны.

Все дело в том, что мы не заставили наше решение (13.15) подчиниться этому добавочному условию. К счастью, пока не­трудно все исправить. Заметьте, во-первых, что ничуть не хуже формулы (13.18) другое решение уравнения Гамильтона:

И даже энергия здесь та же самая, что была в (13.18). Значит, любая линейная комбинация (13.18) и (13.23) также будет ре­шением системы и будет обладать по-прежнему энергией, давае­мой (13.19). Решение, которое нужно выбрать по требованиям симметрии,—просто сумма (13.18) и (13.23):

Теперь при данных k₁и k₂ амплитуда С_m,nне зависит от того, в каком порядке мы берем х_mи х_n;если мы случайно поставим х_mи х_nв обратном порядке, мы получим ту же амплитуду. И на­ше толкование уравнения (13.24) на языке «магнонов» тоже ста­нет иным. Уже нельзя говорить, что уравнение представляет одну частицу с волновым числом k₁ и другую частицу с волновым числом k₂. Амплитуда (13.24) представляет одно состояние с двумя частицами (магнонами). Состояние характеризуется дву­мя волновыми числами k₁и k₂. Наше решение выглядит как со­ставное состояние одной частицы с импульсом р₁= k₁/h и дру­гой частицы с импульсом р₂=k₂/h, но в этом состоянии нельзя сказать, где какая частица.