Фейнмановские лекции по физике. 9. Квантовая механика II
Шрифт:
Итак, Сm,n=<хm,хn|y> теперь означает амплитуду того, что система в состоянии |y> окажется в состоянии, когда у электронов, стоящих вблизи m– го и n– го атомов, спины смотрят вниз. Сложности, которые теперь возникнут, будут связаны не с усложнением идей,— это будут просто усложнения в бухгалтерии. (Одна из сложностей квантовой механики как раз и состоит в громоздкости бухгалтерии. Чем больше спинов перевернется, тем сложнее станут обозначения, тем больше будет индексов, тем страшнее будут выглядеть уравнения; но сами идеи вовсе не обязательно должны усложниться.)
Уравнения движения спиновой системы — это дифференциальные уравнения для Сn,m:
Пусть
Это уравнение пригодно всегда, за исключением двух случаев. При m=n уравнения вообще нет, а при m=n±1 пара членов в (13.16) должна пропасть. Этими исключениями мы пренебрежем. Мы просто будем игнорировать тот факт, что некоторые из этих уравнений слегка меняются. Ведь как-никак кристалл считается бесконечным и слагаемых в гамильтониане бесчисленно много; пренебрежение некоторым их числом вряд ли сильно на чем-то скажется. Итак, в первом грубом приближении давайте позабудем об изменениях уравнений. Иными словами, допустим, что (13.16) верно при всех m и n, даже когда m и n стоят по соседству. Это самое существенное в нашем приближении.
Теперь уже решение отыскать нетрудно. Мы немедленно получаем
где
а
Поразмыслим минутку о том, что было бы, если бы у нас были две независимые, отдельные спиновые волны (как в предыдущем параграфе), соответствующие k=k1и k=k2; их энергии из (13.12) имели бы вид
и
Заметьте, что энергия Е в (13.19) является как раз их суммой:
Иными словами, наше решение можно толковать следующим образом. Имеются две частицы, т. е. пара спиновых волн, одна из которых обладает импульсом, описываемым числом k1a другая — числом k2; энергия системы равна сумме энергий этих двух объектов. Обе частицы действуют совершенно независимо. Вот и все, что в этом есть — и ничего больше.
Конечно, мы сделали некоторые приближения, но в данный момент мы не будем обсуждать точность нашего ответа. Вы, однако, чувствуете, что в кристаллах разумного размера с миллиардами атомов и, стало быть, с миллиардами слагаемых в гамильтониане большой ошибки от пренебрежения немногими слагаемыми не выйдет. Если бы, конечно, перевернутых спинов стало так много, что их плотность
(Интересно, что в случае, когда перевернутых спинов только два, можно написать и точное решение. Но результат особой важности не представляет. Просто интересно, что в этом случае уравнения можно решить точно. Решение таково:
с энергией
и с волновыми числами kcи k, связанными с k1 и k2формулами
k1= kc– k, k2=kc+k. (13.22)
В этом решении отражено и «взаимодействие» пары спинов. Оно описывает тот факт, что когда спины сближаются, возникает какая-то вероятность их рассеяния. Поведение спинов очень похоже на взаимодействие частиц. Но подробная теория их рассеяния выходит за пределы того, о чем мы здесь собрались говорить.)
§ 3. Независимые частицы
В предыдущем параграфе мы написали гамильтониан (13.15) для двухчастичной системы. Затем, пользуясь приближением, эквивалентным пренебрежению каким-либо «взаимодействием» между двумя частицами, мы нашли стационарные состояния, описываемые формулами (13.17) и (13.18). Это состояние попросту есть произведение двух одночастичных состояний. Но решение, которое мы написали для аm,n[формула (13.18)], на самом деле удовлетворить нас не может. Мы с самого начала подчеркивали, что состояние | х9, x4> не отличается от состояния |x4, x9), что порядок хmи хnневажен. Вообще говоря, алгебраическое выражение для амплитуды Сm,nне должно меняться от перестановки значений хmи хn, потому что она не изменяет состояния. В любом случае она будет представлять амплитуду того, что спин, направленный вниз, обнаружится в хmи в хn.
Но обратите внимание, что (13.18) несимметрично по хmи хn, поскольку k1и k2, вообще говоря, различны.
Все дело в том, что мы не заставили наше решение (13.15) подчиниться этому добавочному условию. К счастью, пока нетрудно все исправить. Заметьте, во-первых, что ничуть не хуже формулы (13.18) другое решение уравнения Гамильтона:
И даже энергия здесь та же самая, что была в (13.18). Значит, любая линейная комбинация (13.18) и (13.23) также будет решением системы и будет обладать по-прежнему энергией, даваемой (13.19). Решение, которое нужно выбрать по требованиям симметрии,—просто сумма (13.18) и (13.23):
Теперь при данных k1и k2 амплитуда Сm,nне зависит от того, в каком порядке мы берем хmи хn;если мы случайно поставим хmи хnв обратном порядке, мы получим ту же амплитуду. И наше толкование уравнения (13.24) на языке «магнонов» тоже станет иным. Уже нельзя говорить, что уравнение представляет одну частицу с волновым числом k1 и другую частицу с волновым числом k2. Амплитуда (13.24) представляет одно состояние с двумя частицами (магнонами). Состояние характеризуется двумя волновыми числами k1и k2. Наше решение выглядит как составное состояние одной частицы с импульсом р1= k1/h и другой частицы с импульсом р2=k2/h, но в этом состоянии нельзя сказать, где какая частица.