Философия в систематическом изложении (сборник)

Коллектив авторов

Попутно было против этого выставлено то соображение, что мы не можем представить себе ложного математического положения. Но когда я говорю 17 x 35 = 585, то я отлично могу себе это представить, хотя это и неверно, ибо ошибку я устанавливаю только при проверке. В положении 5 x 7 = 45 я нахожу ошибку, не прибегая к помощи исследования, потому что я знаю правильное положение наизусть, но я его так же могу мыслить, как и положение: бромистые соли дают красную окраску пламени. На самом деле они дают зеленую окраску, но только химик скажет, что это, само собою разумеется, неверно. Само по себе это положение так легко может быть себе представлено, что неопытный человек должен предварительно подумать, верно ли оно или нет.

Доказав эмпирический характер математических положений, мы должны еще остановиться на часто выставляемом возражении, что математика уже потому наука неэмпирическая, что предполагаемые ею вещи в опыте не существуют. Особенно часто это соображение выставляется применительно к геометрии. Не существует-де ни геометрической точки, ни

геометрической прямой или плоскости, ибо все действительные точки, прямые и плоскости безнадежно отступают от идеальных, рассматриваемых геометрией.

Все это совершенно верно, но беда в том, что так обстоит дело во всех науках, ибо во всех случаях речь идет о результатах общего метода отвлечения. Пользуясь им, мы умышленно отказываемся учитывать фактически существующие свойства и рассматриваем объект не так, как он есть, а так, каким он был бы, если б этих свойств не было. Чем общёе какая-нибудь наука, тем больше свойств отпадает при методе отвлечения; поэтому-то их и остается так мало в математике, этой наиболее общей из всех наук. Когда физик указывает плотность какого-нибудь тела, то он при этом формально исходит из предпосылки, что его тело совершенно однородно, т. е. что его плотность в исследуемом куске везде совершенно одинакова. Слишком хорошо известно, что подобная предпосылка никогда не бывает строго верна. Но определенная физиком плотность относится к недействительному, идеально однородному телу точно так же, как положения геометрии относятся к идеально ровным плоскостям. По существу своемузначение нашего исследования можно резюмировать так: в той же мере, в какой действительный объект приближается к идеальному, положение, высказанное об идеальном объекте, относится к объекту действительному.

Из сказанного вытекает значение так часто подчеркиваемого обстоятельства, что математика есть свободное создание человеческого духа, ибо она рассматривает объекты произвольной природы, которые она связывает по произвольно данным законам. В действительности употребляемые понятия не произвольны, а подобраны так, чтоб они могли быть применены при приблизительном изображении возможно большего количества действительных вещей и их отношений и чтоб научное оперирование им было сопряжено с минимальными затруднениями. Мы могли бы, например, в геометрии употреблять вместо прямой линии линию зигзагообразную, и, придавая зубцам зигзага соответственную величину, мы могли бы достигнуть любого приближения к предложенной нам действительной линии. Но рассмотрение подобной линии было бы сопряжено с чрезвычайно большими трудностями при исчислении и конструкции, которые не были бы возмещены соответственными выгодами в смысле научных результатов. Выбор научной абстракции обусловлен, как это впервые показал Э. Мах, экономическимисоображениями, т. е. выбирают то, при помощи которого возможно достижение наибольших результатов при наименьшей трате. Так как подобная задача, в общем, не может быть окончательно решена при первой попытке, то наука, как мы видим, постоянно озабочена заменой нецелесообразных понятий лучшими, преимущества которых обнаружены соответственными исследованиями.

Так же мало произвольны и математические законы, по которым связываются эти образованные применительно к природе понятия. Возьмем одно из основных употребительных в математике положений, например: две величины, порознь равные третьей, равны между собой. Смастерив две величины, равные третьей данной величине, и сравнив эти величины между собою, мы можем убедиться в обязательности этого закона и для избранного примера. Точно так же нельзя произвольно допустить необязательность этого положения, не удалившись от возможности изложения фактического положения вещей. Те же соображения относятся к любому другому математическому положению, которое служит таким же отражением опытных отношений, как и всякое другое естественнонаучное положение.

Но, возразят нам, математические законы абсолютно точны,между тем как точность их проверки на опыте ограничена. С последним несомненно нужно согласиться, первое же утверждение лишено какого бы то ни было смысла. Равны ли две величины или нет, т. е. может ли при определенных предпосылках одна величина быть заменена другой без изменения существующих отношений – этот вопрос может быть предложен только опыту. При математическом исследовании произвольно ограничиваешься одной стороной объектов, их величиной, и категорически отказываешься от рассмотрения других их сторон. На эмпирических величинах математические законы были признаны практически правильными и поэтому им было дано теоретически общее выражение. Так как наблюдаемые отклонения всегда зависят от точности измерения и сравнения, то при помощи той же индукции, которая лежит в основе всех законов о природе, было выведено заключение, что при неограниченно большой точности ошибки могут быть доведены до неограниченно малых размеров. Так называемая математическая точность оказывается, таким образом, допущением, справедливость которого до сих пор подтверждалась при всех проверках, но отнюдь нельзя утверждать, что оно застраховано от изменений или ограничений при каких-нибудь иных, нами еще не достигнутых условиях. Кроме того, из всех допущений оно наиболее простое и для практического употребления наиболее целесообразное.

Особенно ясно эмпирический характер математических наук

проявляется в знаменитом споре по поводу теоремы о параллельных линиях в геометрии. Положение Эвклида, что две линии, пересекающие третью под прямыми углами, никогда не пересекаются, есть прежде всего плод опыта. Так как опыт на бесконечность не простирается, то остался открытым вопрос, не пересекаются ли они в бесконечности, причем, разумеется, оставалось выяснить предварительно понятие бесконечности. Возникший по этому поводу спор был улажен, когда Лобачевский и Болей разработали геометрию, не содержащую в себе теоремы о параллельных линиях и тем не менее вполне связную и последовательную. Эта геометрия переходит в обыкновенную или эвклидову геометрию, если, кроме обобщенных положений опыта, которыми она пользуется, ввести в нее еще положение о параллельных линиях. Вопрос о том, какая из них «правильна», может быть решен не иначе, как путем соответственного экспериментальногоисследования: какой-нибудь вывод, вытекающий из положения о параллельных линиях, проверяется на опыте, например вопрос, действительно ли сумма углов всех треугольников равна двум прямым. Если какое-нибудь отклонение существует, то его легче всего открыть в очень больших треугольниках. До сих пор не обнаружено ничего подобного, и эвклидову геометрию приходится считать правильной. Это, однако, означает лишь то, что до сих пор эвклидовская геометрия экспериментально лучше всего совпадает с опытом, т. е. что употребляемые ею абстракции и законы – наиболее целесообразны.

Все изложенное нами выше было необходимо для того, чтобы обеспечить за натурфилософией право такого же пользования общими выводами математики, как и другими законами о природе, опытный характер которых несомненен. Обратимся теперь к систематическому построению этой науки.

Содержание систематической натурфилософии образуют самые общие понятия, при помощи которых мы ориентируемся во внешнем мире.Так как образование и обработка подобных понятий является задачей, над которой беспрерывно работает человечество, стремясь одновременно к их расширению и обогащению (см. с. 157), то с самого начала приходится отказаться от мысли собрать их в какое-нибудь данное время, например в начале двадцатого столетия, и создать таким образом систему обязательную для всех времен. Этим признанием натурфилософия XX века существенно отличается от предыдущих стадий развития этой науки, которые все еще исходили из предпосылки, что если вообще достижимы абсолютныеистины, то во всяком случае в их области. Даже Кант, этот наиболее тонкий и глубокий философ, какого когда-либо порождал немецкий народ, выставивший, как итог своей философии, положение: всякое познание о вещах из чистого рассудка или чистого разума есть не что иное, как призрак, и только в опыте истина, – все же полагал, что познал нечто абсолютно данное в том, что он назвал «формами» чистого разума – пространстве, времени и двенадцати категориях – а свои изыскания об этих формах он считал неизменным отныне достоянием науки. Из того обстоятельства, что теперь даже убежденнейшие сторонники Канта больше не придерживаются категорий, мы заключаем, что и они суть не что иное, как эмпирические понятия, и выводим дальнейшее, исторически обоснованное заключение по индукции, что в дальнейшем развитии абсолютное будет изгнано из последних, еще удерживаемых им позиций.

Отыскивая наиболее общее понятие, которым мы пользуемся, мы находим, что это переживание.Под этим словом мы понимаем всякое содержание нашего сознания, поскольку оно отличается от другого подобного содержания. Мы различаем переживания внутренниеи внешние, т. е. такие, за возникновение которых мы возлагаем ответственность исключительно на себя самих, и такие, относительно которых мы допускаем содействие вне нас существующих отношений. Последние мы называем вещами, или объектами, а совокупность их – внешним миром.

Тут пред нами встает вопрос, в какой мере можно быть уверенным в существовании внешнего мира. На основании выставленного уже Декартом соображения нет ничего достоверного, кроме моего сознания и поэтому, как это категорически подчеркивал Шопенгауэр, весь остальной мир есть не что иное, как мое представление. Если я продумываю эту мысль строго до конца, то то, что я знаю, ограничивается фактически лишь тем, что в настоящиймомент составляет содержание моего сознания, ибо у меня нет ни малейшей уверенности в том, что мои воспоминания о только что промелькнувшем мгновении или – еще больше – мои воспоминания о вчерашнем и позавчерашнем не успели измениться за это время, подобно тому, как меняется вид предмета по мере того, как я пространственно удаляюсь от него.

Таким образом, мы, допуская, что наши воспоминания о прежних переживаниях в известных существенных пунктах совпадают с самими переживаниями, при первом же шаге из рамок данного момента покидаем почву абсолютно достоверного; при этом мы еще оставляем в стороне вопрос о том, могу ли я вообще настоящему содержанию моего сознания приписать абсолютную достоверность. Оправдание этого допущения мы видим в том, что оно нам позволяет предсказать, как протекут подобные переживания. Соответственно с этим мы называем ошибочными те воспоминания, которые противоречат позднейшим переживаниям.