Философия в систематическом изложении (сборник)
Шрифт:
Из возможности таких противоречий мы выводим заключение, что течение какого-нибудь переживания иногда зависит не от нас одних только, ибо если б это было так, то почему бы переживанию не быть таким, каким мы его ожидаем. Эти, от нас независимые вещи мы и называем внешним миром. Это название неудачно постольку, поскольку оно указывает на пространственное отношение. Но речь идет не об этом: важно подчеркнуть только то, что часть наших переживаний зависит не непосредственно от нас. Рассмотрением этих переживаний, или объектов, занята натурфилософия.
II. Логико-математические науки
Очертив, таким образом, поле деятельности натурфилософии, я позволю себе в дальнейшем изложении набросать в крупных чертах картину ее состава. При этом я не мог, да и не хотел избежать того,
Определенное сочетание различимых объектов называется многообразием; прежде всего нам необходимо установить законы многообразий, которые согласно предпосылке должны быть независимы от особой природы составляющих ее объектов. Мы находим, что все многообразия делимы и составляемы и что в результате такой операции всегда получится опять-таки многообразие. Деление невозможно только в том случае, когда многообразие состоит из одного объекта. Соединяя части какого-нибудь многообразия, мы снова получаем первоначальное многообразие. Сравнивая несколько многообразий, мы получаем важное понятие соответствия.Мы приводим в соответствие одно многообразие с другим, когда устанавливаем, что объект одного многообразия должен соответствовать объекту другого многообразия. Если природа двух многообразий такова, что одно может совершенносоответствовать другому и наоборот, то они называются равными, в противном случае – различными.Два многообразия, совершенно соответственные третьему, могут, как показывает опыт, соответствовать друг другу, или два многообразия, равные третьему, равны между собою.
При приведении в соответствие различных многообразий, одно исчерпается скорее другого; мы называем его беднеедругого, которое будет богаче. Благодаря приведению в соответствие мы очень скоро убеждаемся, что если многообразие А богаче многообразия В, а это богаче многообразия С, то и А богаче С.
Если над данными многообразиями А, В, С… производить какие-нибудь операции деления или сложения, то над другими равными многообразиями А', В', С'… или А", В", С"… можно проделывать с тем же успехом те же операции, как это вытекает из применения приведения в соответствие.
Это показывает нам, какое огромное значение имеет метод приведения в соответствие для знания и овладевания вещами, ибо он позволяет нам доказать, что раз проделанная операция общеобязательна для всех других случаев, допускающих совершенное соответствие. В дальнейшем мы убедимся, что в действительности на соответствии зиждется научный метод.
Развитые нами до сих пор положения обязательны для всякого рода многообразий, и особенно необходимо подчеркнуть, что до сих пор мы не пользовались и не выдвигали ни понятия величины, ни понятия числа. Они получаются лишь тогда, когда мы делаем особенные допущения о природе объектов.
Прежде всего мы делаем допущение, что отдельные вещи, из которых состоит многообразие, не отличаются друг от друга.Вынужден или доброволен этот отказ от различения – это не имеет влияния на свойства подобного многообразия. Затем мы можем предложенное многообразие подвергнуть делению и полученные части снова делить, пока наконец ни с одной частью многообразия нельзя произвести дальнейшего деления, так как каждая окажется состоящей из одной вещи. Из этих отдельных вещей или единиц мы можем снова составить многообразие, причем это может произойти любым образом, ибо согласно нашей предпосылке отдельные вещи ничем друг от друга не отличаются.
Это сложение мы проделываем постепенно: сначала берем одну вещь, присоединяем к ней другую, затем еще одну и т. д. Операцию эту мы называем счетом, а отдельные результаты снабжаются определенными названиями и значками, называемыми числами.Каждое число представляет собою многообразие определенного богатства, которое называется ценностьюэтого числа, а все свойства этого числа относительно деления его и сложения обязательны для всех многообразий той же ценности. Все законы, касающиеся взаимных отношений чисел, обязательны, в силу принципа соответствия, для всех подобных многообразий, и на этом зиждется необозримая область применения этого вспомогательного средства.
Место понятий «богаче» и «беднее» занимают относительно числовых количеств понятия «больше» и «меньше». Если какое-нибудь число А больше В, или В больше С, то и А больше С. Это хорошо известное положение есть лишь частный случай более общего положения о многообразиях.
Всякое отдельное число обозначает прежде всего многообразие особой природы, являясь воплощением всех равных между собою и отличных от других поддающихся счету многообразий. Объединив совокупность всех чисел, мы можем образовать новое многообразие, в котором отдельные вещи или члены уже отличаются друг от друга. Далее, каждый из членов (за исключением единицы) обладает тем свойством, что он может получиться из другого (и только одного) члена при помощи присчитывания единицы. Вследствие этого возникает определенное отношение между всеми членами числового многообразия, которое можно назвать порядком.Количество чисел можно расположить в таком порядке, чтобы относительно всякого числа все последующие были больше его и все предыдущие – меньше. Это достигается тогда, когда каждое следующее число на единицу больше предыдущего, как в этом легко убедиться, применяя высказанный в предыдущем абзаце закон.
Это отнюдь не единственный способ порядка, хотя во всяком случае простейший. Необходимо поэтому подробнее развить понятие порядка.
Порядок возможен лишь тогда, когда каждая вещь многообразия может быть отличима от других, так что ее можно распознать и следить, так сказать, за ее судьбой. Я могу сделать так, чтоб каждый объект какого-нибудь многообразия находился в каком-нибудь определенном предписанном отношении к каждому из остальных объектов. При этом немедленно выясняется, что кроме отношений, необходимых для однозначимого образования порядка, в упорядоченном количестве могут быть вскрыты многочисленные другие отношения подобного рода, которые, в свою очередь, могут при известном подборе служить для установления такого же порядка.
Простейший вид порядка – это последовательность; она характеризуется тем, что к каждой вещи приурочивается та или другая вещь многообразия, с которой она находится в неизменном отношении. Подобная последовательность получается, например, если относительно каждой вещи определить, какая другая будет следовать до нее во времени; точно так же возможна и пространственнаяпоследовательность. Отсюда видно, что при помощи такого способа для всякой вещи однозначимо устанавливается не только следующая за ней вещь, но и предыдущая, но и пред ближайшая.
Упорядоченное многообразие обладает свойством делимости, присущим всякому многообразию, но если мы пожелаем из частей заново восстановить прежнее упорядоченное многообразие, то нужно обратить внимание и на порядок этих частей, так как в противном случае будет нарушено принятое правило порядка; части упорядоченного многообразия могут быть поэтому вновь сложены только однимспособом.
Та вещь, которая при применении правила порядка относится к данной вещи, называется высшей, последняя же – низшей. Всегда поэтому в конечном многообразии существует один член, к которому не может быть отнесен высший потому, что количество исчерпано, равно как существует один член, к которому не примыкает низший, ибо им начинается ряд. Между низшим и высшим членами лежат все остальные. Если какой-нибудь член авыше, чем Ь,и bвыше, чем с, то и а выше с, в чем легко убедиться при установлении порядка. При этом необходимо заметить, что язык, к сожалению, не позволяет нам выразить необходимые здесь всеобщие, независимые от времени и пространства, отношения, так что мы бываем вынуждены пользоваться такими образными оборотами, как выше и ниже, позже и раньше. Категорически подчеркиваем поэтому, что в действительности наши рассуждения не содержат временных или пространственных предпосылок.