Физика пространства - времени
Шрифт:
L
2
=
1
2
2qV
mL
T
2
^2
и следовательно,
^2
=
1
T
^2
=
qV
8mL^2
.
Действительно, полученное выражение для частоты оказывается пропорционально квадратному корню из величины приложенного напряжения V.
г) В крайнем ультрарелятивистском случае электрон большую часть времени движется почти со скоростью света. В результате величина периода Tмин становится близка к тому времени, за которое свет покрывает
T
мин
=
2L
c
или
макс
=
1
Tмин
=
c
2L
.
д) Начертить предлагаемый график проще, если взять не самую величину , а безразмерное отношение
макс
=
qV
2mc^2
1/2
(ньютоновский предел),
макс
=
1
(ультрарелятивистский предел).
Рис. 150.
Этим формулам нетрудно дать простое истолкование. Величина qV представляет собой потенциальную энергию электрона, когда он покоится около стенки ящика; эта же величина равна и кинетической энергии электрона при прохождении им через сетку в центре ящика. В любом случае она определяет энергию электрона как колеблющегося грузика. Величина же mc^2 — это просто масса покоя электрона, выраженная в единицах энергии. Разумеется, ньютоновская формула выполняется, когда частота много меньше своего ультрарелятивистского предела, иначе говоря, если кинетическая энергия электрона много меньше его энергии покоя. Иными словами, область перехода от ньютоновского предела к ультрарелятивистскому определяется соотношением qV2mc^2=1 Мэв, т.е. V1 000 000 в.
65. Импульс без массы?
а) Скорость переноса массы равна просто dE/dt, если выразить энергию в единицах массы.
б) Импульс равен
x
dm
dt
=
x
dE
dt
.
в) Движение платформы происходит оттого, что центр масс системы в целом 1) не может начать двигаться. Так как масса покоя передаётся от аккумулятора воде, платформа должна двигаться влево (см. рис. 105) для того, чтобы центр масс всей системы сохранял неизменное положение. После того как заряд аккумулятора истощится, масса покоя перестанет передаваться воде, а вместе с этим отпадёт необходимость в компенсирующем движении платформы — она остановится. Окончательный сдвиг платформы будет составлять крайне малую часть её длины x. Пусть вся израсходованная аккумулятором энергия равна E, так что воде была передана соответствующая ей масса (в форме теплоты). Положим полную массу платформы и всей её нагрузки равной M (исключая массу E). Тогда условие неподвижности центра масс можно выразить формулой
1) Авторы используют здесь свой термин «центр импульса». См. по этому поводу наше примечание на стр. 214 — Прим. перев.
M
+
Ex
=
0,
откуда окончательный сдвиг платформы определяется в виде
=-
Ex
M
.
г) Любой объект, покоящийся в данной системе отсчёта, не совершает в ней механической работы. Поэтому в системе отсчёта платформы перенос энергии слева направо может осуществляться лишь посредством движущейся ремённой передачи. В системе отсчёта стола, если считать, что платформа катится по нему без трения, движение энергии (массы) платформы в целом влево или вправо невозможно. Поэтому масса платформы M отступает влево в точности настолько, чтобы компенсировать перенос ремённой передачей энергии (массы) вправо. В этой системе отсчёта скорости переноса энергии платформой и ремённой передачей в точности равны друг другу, но противоположно направлены. Наконец, в системе отсчёта наблюдателя, движущегося вместе с ремённой передачей в какую-то одну сторону, будет значительно ускорен перенос энергии в противоположную сторону встречным движением ремня, так как увеличится относительная скорость, и с этим наблюдателем нельзя не согласиться — ведь для него масса всей системы в целом несомненно находится в быстром движении.
66. Частицы нулевой массы покоя
Вывод соотношения E^2-e^2=m^2 основывается (см. рис. 88 и 89), во-первых, на инвариантности интервала и, во-вторых, на существовании множителя m, переводящего единичный 4-вектор, касательный к мировой линии, в вектор энергии-импульса, также к ней касательный. В пределе исчезающе малой массы покоя это соотношение принимает вид
e^2
=
E^2
или
|p|
=
E
,
формула же (90) справедлива для всех скоростей и масс покоя:
p
=
E
.
Поэтому, если pE скорость рассматриваемой частицы должна быть равна единице: частица должна двигаться со скоростью света. Однако скорость связана с параметром скорости соотношением
=
p
E
=
m sh
m ch
=
th
.
Отсюда, если скорость равна скорости света, должны быть равны друг другу ch и sh ; следовательно, параметр скорости должен быть бесконечно большим. Если рассматривать теперь объект нулевой массы покоя из системы отсчёта ракеты, двигающейся относительно лабораторной системы со скоростью r (параметр скорости r), то параметр скорости этого объекта будет равен '=-r. Каким бы большим ни был параметр r, будет бесконечен ввиду бесконечности . Следовательно, свет распространяется с одной и той же скоростью в любой инерциальной системе отсчёта, и невозможно найти систему, в которой бы он покоился. Это верно и для любых других частиц, масса покоя которых равна нулю; все они движутся со скоростью света. См. также обсуждение на стр. 159—161.
67. Эйнштейновский вывод принципа эквивалентности энергии и массы покоя — подробный пример
Решение дано в тексте.
68. Устойчивость фотона
Рис. 151
Диаграмма на рис. 151 изображает сохранение импульса в ходе предполагаемого дробления фотона на два других фотона, не сохраняющих его первоначального направления движения. Треугольник образован трёхмерными векторами импульса и построен в обычном трёхмерном эвклидовом пространстве. Поэтому сумма длин его боковых сторон должна быть больше длины основания, т.е.
Модуль импульса
первого
дочернего фотона
+
Модуль импульса
второго
дочернего фотона
>
>
Модуль импульса
исходного фотона
.
Однако импульс фотона по модулю равен его энергии. Значит, сумма энергий двух дочерних фотонов должна превосходить энергию исходного фотона, а это невозможно. Следовательно, одновременное сохранение и импульса, и энергии невозможно, если только фотоны — продукты дробления — не продолжают двигаться в том же направлении, в котором двигался первоначальный фотон.
69. Давление света
а) Свет лампочки мощностью 1 вт приносит на поглощающую его поверхность 1 дж энергии каждую секунду. 1 дж эквивалентен энергии (массе), равной (1 дж)/c^210^1 кг. Эта поверхность поглощает за одну секунду столько же импульса (выраженного в единицах массы); переход к обычным единицам осуществляется путём умножения на скорость света c (см. стр. 141), что даёт в данном случае 3·10 кг·м/сек импульса, поступающего на поглощающую поверхность в секунду. Это соответствует силе, равной 3·10 кг·м/сек^2 т.е. 3·10 н.