Физика пространства - времени
Шрифт:
1 В отличие от кинетической энергии, потенциальная энергия пробной массы в гравитационном поле с точки зрения теории Ньютона всегда отрицательна и обращается в нуль на бесконечности, где поле отсутствует; таким образом, энергия возрастает с высотой. Авторы в действительности имеют в виду работу, необходимую для удаления массы из гравитационного поля, равную по абсолютной величине потенциальной энергии этой массы, но обратную ей по знаку. Возрастание потенциальной энергии с высотой отражает тот факт, что гравитация создает силы притяжения, а не отталкивания между массами (по принципу минимума энергии).— Прим. перев.
г)
Земля
– 7·10^1
,
т.е. численно совпадает с ответом на часть б). Для Солнца (M*=1,47·10^3 м, rСолнце7·10 м) относительная величина гравитационного красного смещения равна
Солнце
– 2·10
.
74. Плотность спутника Сириуса
Из формулы (119) следует величина радиуса
r
=
M*
– /
=
1,5·10^3 м
7·10
2·10
м
(менее одной трети радиуса Земли!). Плотность равна
M
=
2·10^3
кг
6·10^1
кг
/
м
^3
=
6·10
г
/
см
^3
4
r^2
4·8·10^1
м
^3
3
— в шестьдесят миллионов раз больше плотности воды!
75. Формулы Допплера
а) В системе отсчёта ракеты
p'
x
=
p' cos ',
p'
y
=
p' sin '.
Подставляя эти выражения для компонент импульса в формулы преобразования Лоренца (78), найдём
E'
=
– p
cos
sh
r
+
E
ch
r
,
p'cos '
=
p
cos
sh
r
–
E
ch
r
,
p'sin '
=
p
sin
.
Но
E'
=
E
ch
r
(1-
r
cos )
,
как это требовалось показать [уравнение (120)]. Найдём теперь из второго уравнения cos ' и исключим из него E пользуясь (120):
cos '
=
E cos ch r– E sh r
E ch r(1-r cos )
,
cos '
=
cos -r
1-r cos
.
б) Будем исходить из формул, обратных (78):
E
=
p'
x
sh
r
+
E' ch
r
,
p
x
=
p'
x
ch
r
+
E' sh
r
,
p
y
=
p'
y
,
p
z
=
p'
z
.
Вновь производя уже знакомые подстановки
p'
x
=
p' cos '
=
E' cos '
,
p'
y
=
p' sin '
=
E' sin '
и т.д., найдём из приведённой выше формулы преобразования энергии
E
=
E' ch
r
(1+
r
cos ')
.
Подставляя этот результат в выписанную выше первую формулу для компонент импульса, найдём из неё
cos
=
cos '+r
1+rcos '
.
Эти результаты приведены в упражнении 76, а последняя формула была выведена также в упражнении 22 [уравнение (50)].
в) Энергия фотона E и соответствующая ей классическая частота электромагнитной волны связаны друг с другом равенством E=h/c^2· (см. упражнение 72). Поэтому уравнение (120) переписывается для частот в виде
'
=
ch
r
·
(1-
r