Физика пространства - времени
Шрифт:
–
P
^2
=
m^2
.
Из этих уравнений можно найти энергию падающего фотона
E
фотон
=
4m
12
(проверку выполнения всех этих уравнений можно осуществить, используя следующие вспомогательные величины:
E
фотон
=
3m
12
,
E
=
13m
12
,
p
=
5m
12
.
72.
а) В случае фотона, движущегося вдоль оси x, формулы преобразования энергии и импульса (78) сводятся к одному-единственному равенству
E'
=
E ch
r
–
p sh
r
=
E(ch
r
–
sh
r
)
=
Ee
r
,
где мы учли формальные определения функций ch и sh , приведённые в табл. 8.
б) Нулевая вспышка (n=0) проходит через начало координат в момент t=0, и её распространение описывается в дальнейшем уравнением x=t, т.е. t-x=0. Вспышка № 1 (n=1) проходит через начало координат в момент t=c/, так что величина её x-координаты всегда на c/ меньше, чем этой же координаты нулевой вспышки:
x
=
t
–
c
т.е.
1
=
c
(t-x)
.
Вспышка № n проходит через начало координат в момент nc/, и её x-координата всегда на nc/ меньше, чем у нулевой вспышки: x=t-nc/, т.е. n=/c·(t-x).
Это и есть то уравнение, которое требовалось получить. Свет распространяется с одной и той же скоростью c и в лабораторной системе отсчёта, и в системе ракеты, так что те же рассуждения, взятые в применении к системе отсчёта ракеты, дают уравнение
n
=
'
c
(t'-x')
.
Подставим сюда значения t' и x' из формул преобразования Лоренца; мы получим
n
=
'
c
(t-x)(
ch
r
+
sh
r
),
n
=
'
c
(t-x)
e
r
.
Приравнивая друг другу выражения для n, полученные в лабораторной системе отсчёта и в системе ракеты, найдём
'
=
e
r
.
в) Равенства,
E
=
h
c^2
.
Умножая энергию, выраженную в единицах массы, на квадрат скорости света, получим Eобычн — энергию, измеренную в обычных единицах (см. разд. 10 гл. 2):
E
обычн
=
h
.
г) Если это последнее соотношение подставить в формулу, описывающую эффект Комптона (упражнение 70), то получится формула (116).
73. Гравитационное красное смещение
а) Работа, затрачиваемая на единицу массы при переходе от r к r+dr, выражается формулой (117) и представляет собой вклад в потенциальную энергию частицы. Вблизи поверхности Земли rrЗемля, и мы получим
dW
m
=
m*
rЗемля^2
dr
=
g*
dr
.
Подставляя g10 м/сек^2 приближённо найдём
g*
=
g
c^2
10 м/сек^2
9·10^1 м^2/сек^2
10^1
м
/
м
^2
,
так что относительное изменение массы покоя частицы при подъёме на 170 м равно
dW
m
1,7·10^1
2·10^1
.
б) Отношение же полной работы к массе даётся формулой (118); если взять в ней в качестве m* массу Земли, равную 4,4·10^3 м, а за исходный радиус принять радиус Земли rЗемля мы получим
W
m
=
m*
rЗемля
4,4·10^3 м
6,7·10 м
7·10^1
.
Отношения, полученные в частях а) и б) этого упражнения, не включают в правой стороне самую массу поднимающейся частицы.
в) Заменяя в формуле, полученной в части a), dr на z, а dW/m — на отношение (изменение энергии)/(полная энергия), получим, учитывая формулу (115), требуемый результат. Знак минус в нем появился ввиду того, что изменение энергии отрицательно (она уменьшается с высотой) 1.