Физика учит новый язык. Лейбниц. Анализ бесконечно малых

Коллектив авторов

Но именно талант изобретателя сделал Архимеда известным среди его современников. В молодости он сделал устройство, которое с помощью гидравлического механизма воссоздавало движение планет. Также Архимед разработал блочный механизм, позволивший ему спустить на воду огромный корабль царя Гиерона. Кроме того, он создал большое количество разнообразных военных машин, с помощью которых жители Сиракуз два года отражали атаки осаждавших их римлян. Согласно легенде ученый использовал большие зеркала, чтобы сжигать вражеские корабли. И, само собой, он был создателем винта Архимеда (см. рисунок), механического приспособления для поднятия воды из колодцев и цистерн, состоящего из металлической полосы, идущей спирально вокруг центрального стержня

и спрятанной внутри цилиндра.

Однако все эти изобретения были, как пишет Плутарх в жизнеописании Марцелла, римского военачальника, завоевавшего Сиракузы, просто "развлечением для геометра". Плутарх объясняет нам, каковы были интересы гения:

"Хотя открытия обеспечили ему имя и славу, не человеческую, а божественную, он не захотел оставить ни одного трактата о них, а считал инженерное дело и любое утилитарное ремесло неблагородным и грубым и претендовал только на области, красота и утонченность которых не связаны с потребностями и не могут сравниться с другими областями; он открыл диспут о материи и доказательстве, где первое предоставляет силу и красоту, а второе — точность и высочайшую силу, потому что невозможно найти в геометрии более сложные и важные пропозиции, изложенные в рамках более чистых и четких понятий".

Архимед пользовался методом исчерпывания для строгого доказательства своих результатов. В работе "О шаре и цилиндре" первая аксиома, которую он выдвигает, заключается в том, что из всех линий, имеющих одни и те же концы, самая короткая — прямая. В нее включены другие аксиомы, связанные с длинами кривых и площадей поверхностей.

НЕ ГЕОМЕТРИЕЙ ЕДИНОЙ

В области геометрии у древнегреческих ученых было правило — рассматривать только те фигуры, которые можно построить с помощью линейки и циркуля. Поэтому они были ограничены знаменитыми задачами на построение: удвоение куба, квадратура круга и трисекция угла.

В греческой математике не было создано общих методов для решения различных задач. Кроме того, после подчинения геометрии математической строгости доказательства стали каждый раз все более сложными. Это мешало двигаться дальше в развитии вычислений.

МЕТОД ИСЧЕРПЫВАНИЯ

Этот метод обязан своим существованием греческому математику Евдоксу Книдскому (ок. 390-337 до н.э.). Он состоит в приближении неизвестной площади, которую нужно вычислить, к большей или меньшей площади. Метод основывается на принципе, который упоминается в "Началах" Евклида:

^{"Если при данных двух неравных величинах из наибольшей величины вычесть величину, большую ее половины, а из остатка — другую величину, большую ее половины, и последовательно повторять процесс, в итоге останется величина, меньшая наименьшей из заданных величин".}

Попробуем найти площадь круга (рисунок 1). Для этого впишем в него квадрат (площадью, большей половины круга) и вычтем его площадь из круга. На сторонах квадрата построим равнобедренные треугольники, вписанные в сегменты круга, а затем вычтем площадь данных треугольников. Повторяя последнюю операцию нужное количество раз, мы последовательно подходим к площади круга сколь угодно близко.

РИС. 1

На рисунках видно, что каждый раз происходит вписывание в круг многоугольников с большим

числом сторон, площадь которых каждый раз все больше приближается к искомой площади круга. Такие же рассуждения можно применить к описанному квадрату (рисунок 2).

РИС. 2

Изначально развитие греческой арифметики было обусловлено потребностями геометрии, поскольку математики сводили ее к вычислению геометрических или тригонометрических величин. Позже арифметика и алгебра разделились и начали развиваться как независимые дисциплины. Математики христианской эпохи, такие как Герои Александрийский (I в.), Никомах Герасский (II в.) и Диофант Александрийский (III в.), развивали арифметику и алгебру без оглядки на потребности геометрии. Никомах, следовавший пифагорейской традиции и написавший "Введение в арифметику", считал, что его труд имел такое же значение для арифметики, как "Начала" Евклида — для геометрии.

Древнегреческая алгебра добилась огромных успехов благодаря Диофанту. Его "Арифметика" состоит из серии задач с решениями и необходимыми разъяснениями. Это сочинение было написано для обучения алгебре. Здесь мы встречаем задачи, которые, кажется, взяты из современного учебника средней школы. Например: "Найти два числа, сумма которых равна 20, а произведение — 96". Способ, которым ее решает Диофант, если использовать нашу современную терминологию, выглядит следующим образом. Сумма равна 20, а произведение 96; пусть 2х есть разность между наибольшим и наименьшим числом; следовательно, оба числа равны 10 + х и 10 - х, а их произведение (10+х)(10-х) = 100 - х² = 96, х² = 4. Следовательно, х = 2, поскольку ученые Древней Греции не учитывали отрицательных решений. Искомые числа — 12 и 8.

К сожалению, большая часть наследия греческой культуры исчезла, уничтоженная христианами. Тысячи рукописей были сожжены, и большая часть научного знания пропала. В течение целого тысячелетия в геометрию не было привнесено ничего нового. Практически до 1600 года в этой области не происходило никакого развития.

В середине XVI века по Европе начали распространяться латинские переводы сохраненных арабскими учеными основных греческих текстов, которые были с энтузиазмом приняты математиками того времени. Началось тщательное изучение решений задач и доказательств, найденных древнегреческими учеными. Восхищение математиков XVI и XVII веков знаниями греков было бесспорным.

РАЗВИТИЕ АЛГЕБРЫ

Геометрия в течение тысячелетия стояла на месте, но алгебра немного развивалась, что сделало возможным создание математического анализа. Алгебра все еще была тесно связана с геометрией. Математик Мухаммад ибн Муса Аль-Хорезми (780- 850) работал в Багдаде. От его имени происходит слово алгоритм. Также благодаря ему появилось слово алгебра, поэтому многие авторы считают Аль-Хорезми отцом алгебры. Однако метод, которым он пользовался для решения своих уравнений, оставался в основном геометрическим.

Одним из наиболее известных ученых XVI века, внесших колоссальный вклад в развитие алгебры, был уже ранее упомянутый Франсуа Виет. Он активно работал над алгебраическими символами, пользуясь буквами для обозначения математических параметров: для неизвестных параметров он использовал гласные, а для всех прочих — согласные. В своих работах Виет давал сначала решение задачи в общем виде и только потом приводил числовой пример. Так он перешел от изучения частных проблем к развитию общих методов, что было очень важно для прогресса анализа бесконечно малых. Именно его работа обеспечила дорогу к появлению аналитической геометрии.