Физика учит новый язык. Лейбниц. Анализ бесконечно малых
Шрифт:
В первой главе статьи об анализе, опубликованной Лейбницем в 1684 году в журнале "Акты ученых" под названием "Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления", ученый представил свой метод и применил его для решения задачи, поднятой картезианцем Флоримоном де Боном: нахождения кривых с постоянной подкасательной. Рассмотрим его в современной записи.
Подкасательная — это проекция на ось X отрезка от места пересечения касательной с осью X до точки касания; на рисунке на следующей странице это отрезок АВ. Мы хотим, чтобы он был постоянным и был равен с. В этом доказательстве Лейбниц использовал то, что известно как характеристический треугольник, которым также пользовались
Отрезок BQ равен у. Поскольку треугольник ABQ подобен характеристическому треугольнику:
dy/dx = y/c,
то
dy/y = dx/c.
После интегрирования этого выражения получается
ln(y) = x/c.
Следовательно, кривые с постоянной подкасательной — это кривые, заданные функцией у = ex/c, то есть экспоненциальные. Лейбниц так находил производную произведения:
"d(xy) — то же самое, что разность между двумя смежными ху, одно из которых равно ху, а другое — (х + dx) (у + dy). Тогда d(xy) = (x + dx)(y + dy)-xy = xdy + ydx + dxdy, и это равно xdy + ydx, если величину dxdy опустить, поскольку она бесконечно мала относительно остальных величин, так как dx и dy, предполагается, бесконечно малы".
Характеристический треугольник Лейбница, в котором появляются касательная к кривой и ее подкасательная.
ПОЛЕМИКА ОБ АНАЛИЗЕ
Сегодня признается, что Ньютон был первым, кто разработал принципы анализа, а Лейбниц первым опубликовал результаты. Они оба пришли к нему независимо, базируясь на одном и том же фундаменте.
Уже в 1674 году Лейбниц мимоходом упоминал в письме Ольденбургу, что он нашел квадратуру круга с помощью открытого им общего метода. А в 1675 году ученый сообщал ему, что нашел метод для решения квадратур, который можно обобщить, но не сказал ничего более подробного. В том же самом году в Париж через Лондон приехал благородный саксонец Вальтер фон Чирнхаус с письмами от Ольденбурга для Лейбница и Гюйгенса. Фон Чирнхаус работал какое-то время с Лейбницем, например над рукописями Паскаля, которые потом пропали, и знаем мы о них теперь только благодаря Лейбницу. Было ясно, что Чирнхаус не испытывал никакого интереса к анализу бесконечно малых, поэтому он ни о чем не мог проинформировать Лейбница. Чирнхаус утверждал: все, сделанное Барроу и другими английскими математиками,— лишь ответвления от того, что привнес Декарт. Чтобы оспорить это мнение, Коллинз, библиотекарь Королевского общества, написал работу примерно на 50 страниц, известную как Historiola, в которой объяснял анализ, разработанный Барроу и Ньютоном. В 1675 году он послал отрывок Чирнхаусу и Лейбницу, хотя у последнего уже был разработан собственный анализ.
В октябре 1676 года по пути из Парижа в Ганновер Лейбниц провел неделю в Лондоне. Тогда Коллинз позволил ему списать фрагменты Historiola и "Анализа" самого Ньютона.
Ньютон и Лейбниц несколько раз обменивались письмами через Ольденбурга. Пятого августа 1676 года Ольденбург отправил Лейбницу письмо Ньютона, известное как Epistola prior, через Самуэля Кёнинга, который был с визитом в Париже; послание затерялось в бумагах и дошло до адресата только 26 числа этого месяца. В этом письме Ньютон делал особенный акцент на биноме и представлял еще несколько результатов, уже известных Лейбницу, не объясняя методов, с помощью которых он их получил. Лейбниц ответил ему на следующий день, уверяя, что его метод — другой. Во время полемики о первенстве открытия анализа многие делали акцент на том, что у Лейбница было почти три недели для внимательного изучения письма до того, как он ответил.
В 1677 году ученый получил второе письмо Ньютона, Epistola posterior, в котором тот объяснял ему все о своей
"Основа этих операций довольно очевидна, но поскольку я сейчас не могу продолжить объяснение, я предпочел оставить его скрытым: 6accd et 13eff.71319n4o4orr4s8tll2vx".
Эта бессмыслица после перевода с латыни означала: "Если задано любое уравнение, включающее некоторое число величин-флюэнт, найти флюксии, и наоборот". Она дополнялась еще более распространенной анаграммой, которая даже после дешифровки давала мало информации тому, кто не был знаком с данной темой.
Вторые изобретатели не берутся в расчет.
Исаак Ньютон о Лейбнице после полемики о первенстве
ОТКРЫТИЯ АНАЛИЗА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
После публикации своей первой статьи, посвященной анализу, в 1684 году у Лейбница возникли проблемы с авторством. И хотя он настаивал на том, что его метод отличается и что он нашел его до того, как познакомился с какой-либо работой Ньютона, о чем свидетельствовали письма, написанные Ольденбургу, это не помогло. Дело обострилось, когда Никола Фатио де Дюилье, ученик Ньютона, обвинил Лейбница в плагиате.
Обвинения начали летать туда-сюда между континентом и островом, а математики вставали на сторону того или другого ученого. Полемика разгорелась так жарко, что Лейбниц потребовал создать комиссию Королевского общества, чтобы определить, кто был прав в этой дискуссии. Комиссия, которая была создана Ньютоном, бывшим в то время председателем научного общества, пришла к выводу, что первенство было за английским ученым.
Из-за этого спора английские и европейские интеллектуалы прервали отношения и перестали обмениваться информацией. Ученые с континента поддержали Лейбница, а английские — Ньютона, но так как английская версия анализа в большей степени основывалась на геометрических методах, чем европейская, это стало помехой для английской математики, которая в условиях изоляции отстала от континентальной.
РАСПРОСТРАНЕНИЕ АНАЛИЗА
Метод Лейбница был быстро принят математиками европейского континента. Самыми преданными его "апостолами" были братья Якоб и Иоганн Бернулли, первые из большой семьи известных математиков. Работа Лейбница была оригинальной и результативной, но несколько незаконченной: иногда ей было сложно следовать. К счастью, братья Бернулли упорядочили ее, привнеся множество примеров и новых деталей. Лейбниц признал большой вклад, сделанный Бернулли, и даже подчеркнул, что они стали первыми, кто применил новый метод к решению физических проблем.
Якоб Бернулли (1654-1705) являлся самоучкой и был хорошо знаком с трудами главных предтеч анализа: Декарта, Уоллиса и Барроу. Он работал преподавателем математики в Базельском университете. Найдя одну из первых работ Лейбница по данной теме, Якоб самостоятельно освоил дифференциальное и интегральное исчисление. Он объяснил суть нового метода своему брату Иоганну, и они оба начали работать над анализом Лейбница. В 1690 году в "Актах ученых" Якоб опубликовал статью, в которой говорил о собственных методах анализа и решил задачу, предложенную Лейбницем за три года до этого: "Найти кривую, расположенную в вертикальной плоскости, по которой материальная точка опускается на одну и ту же длину за одно и то же время".
У Иоганна Бернулли (1667-1748) по прозвищу Задира было больше таланта и изобретательности, чем у брата. Он был великим геометром, хотя и не очень скромным (на его могильной плите выгравирована надпись: "Здесь лежит Архимед своего времени"). Он был убежденным защитником Лейбница и сторонником его приоритета в создании математического анализа. Иоганн поссорился с несколькими математиками, особенно со своим братом Якобом и сыном Даниилом. Он был преподавателем Эйлера и объяснял анализ маркизу Лопиталю, знатоку математики.