Фундаментальная радиохимия

Бетенеков Николай

Суммарную продолжительность жизни всех N₀ атомов можно получить, проинтегрировав полученное выражение по t в пределах от 0 до

и поделив его на N₀:

, (1.15)

откуда следует, что = T_{1/e =} 1/ .

Таким образом, используя соотношения (1.10), (1.13) – (1.15), можно разносторонне интерпретировать физический смысл :

(1.16)

Из

последнего равенства ( = A/N) следует, что можно истолковать как меру, определяющую число актов распада, в единицу времени приходящееся на один атом (атомное ядро) в среднем. Эта мера и есть вероятность распада в единицу времени в собрании N атомов (ядер) в расчете на один атом (ядро).

Отсюда видно, что размерность величины – обратные секунды (с ^{– 1}). Табулируют значения констант радиоактивного распада обычно в этих единицах, но гораздо чаще прибегают к понятию «период полураспада» как к интуитивно более понятной величине. При этом выражают его в привычных и обозримых единицах, – от долей секунды до нескольких миллиардов и более лет.

Статистическое обоснование закона радиоактивного распада было предложено Э. Фон Швейдлером в 1905 году. Как только что было выявлено, каждое радиоактивное ядро имеет определенную вероятность распада, а константа и есть величина вероятности этого события. Можно показать, что из такого толкования радиоактивности непосредственно следует эмпирически установленный Резерфордом и Содди экспоненциальный закон распада.

Допустим, что вероятность испытать распад в течение некоторого промежутка времени t для всех ядер данного радионуклида равна величине w_t, которая пропорциональна только этому промежутку времени t, т.е. w_t = kt, где k – коэффициент пропорциональности. Вероятность же пережить этот промежуток времени (т.е. не распасться), как вероятность противоположного события, будет равна 1 – w_t = 1 – kt. Вероятность

пережить некоторый больший промежуток времени t₁ = ht, где h – произвольное число, будет уже вероятностью сложного события (наступление h раз события, вероятность которого равна 1 – kt). Эта вероятность в соответствии с теоремой об умножении вероятности выразится следующим образом: w_t1 = (1 – w_t)^h = (1 – kt)^h.

Прологарифмируем это равенство: lnw_t1 = hln(1 – kt).

Пусть при постоянном значении t₁ = ht t стремится к 0. Тогда, полагая слагаемое kt величиной, пренебрежимо малой по сравнению с единицей, разлагая в ряд ln(1–kt) по малому параметру и ограничиваясь линейным членом разложения, получим:

lnw_t1 = – hkt = – kt₁.

Потенцируя это выражение и полагая, что в силу произвольности выбора отрезка времени t₁ индекс «1» не имеет значения, получим:

w_t = e ^{– kt}.

С другой стороны, вероятность атому (ядру) не распасться в течение времени t можно оценить как отношение числа «благоприятных» исходов к их общему числу (в течение времени t каждому атому можно поставить в соответствие только два исхода: он либо распадется, либо не распадется; последний исход и назван здесь «благоприятным»).

Иными словами, если в момент времени, выбранный как начальный (t = 0), существовало N₀ атомов радионуклида, то математическое ожидание числа атомов или среднее число атомов, не распавшихся за время t, будет равно:

N = w_t No= Ne^–kt, (1.17)

а это и есть одно из выражений закона радиоактивного распада (1.9); кроме того, становится очевидным, что коэффициент пропорциональности k, связывающий вероятность ядру испытать распад в течение промежутка времени t с его величиной, совпадает с константой радиоактивного распада как по статистическому смыслу, так и вследствие изоморфизма уравнений (1.9) и (1.17).

Таким образом, k = w_t/t A/N, что обсуждено выше (1.16).

1.3.5. Связь активности с массой

В химии гравиметрия («весовой анализ») является арбитражным аналитическим методом. Какими бы ни были методы анализа, применяемые в настоящее время (сейчас получили распространение физико-химические и физические методы), все они так или иначе, применительно к задачам количественного анализа, сводятся к необходимости использовать некоторые исходные вещества в качестве эталонов. Последние могут быть изготовлены с использованием, в конечном итоге, аналитических весов.

Но в ядерной физике и радиохимии гравиметрический метод совершенно не распространен главным образом вследствие того, что в подавляющем числе радиоаналитических задач (и, тем более, в радиоэкологии) имеют дело с такими массами радиоактивных веществ, которые находятся за пределом чувствительности даже наилучших весов. Тем не менее помимо установления абсолютной активности радионуклидов, что выполняется инструментально, бывает необходимо знать и их массу (концентрацию). Это достигается элементарным расчетом на основе соотношения (1.10):

где m – масса радионуклида (г), M – молярная масса радионуклида (г/моль);

N_A = 6,022045•10²³ моль^{– 1} – постоянная Авогадро.

Отсюда следует:

. (1.17)

(Здесь активность выражается в беккерелях, а период полураспада в секундах).

По этой формуле можно рассчитать массу, например, одного кюри любого радионуклида. Так, 1Kи ²³⁸ U (T_1/2 = 4,5•10⁹ лет) имеет массу около трех тонн, 1 Kи²²⁶Ra (T_1/2= 1600 лет) – 1 г (это так и должно быть, т.к. один грамм именно этого изотопа радия в свое время был выбран за эталон одного кюри).

В то же время масса короткоживущих радионуклидов, имеющих T_1/2 порядка нескольких лет или суток (не говоря уж о тех, период полураспада которых исчисляется секундами или долями секунды), в аналитическом смысле может оказаться настолько незначительной, эфемерной, почти нереальной, что ей нельзя будет приписать проявление каких бы то ни было макроскопических термодинамически фиксируемых свойств. Иными словами, химические (в общем случае термодинамические) характеристики любой фазы, в которую включается (или ею утрачивается, отдается) радиоактивный микрокомпонент, не могут измениться сколько-нибудь заметным образом, т.к. уровень концентрации этой примеси (выражаемый в процентах или в мольных долях) не более значим, чем уровень любых других практически неустранимых загрязнений, присутствующих даже в самых чистых химических препаратах.