Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс
Шрифт:
5. Каким должен быть радиус окружности, чтобы ее длина была равна разности длин двух окружностей с радиусами 37 и 15 см?
Билет № 16
1. Касательная к окружности, ее свойство (с доказательством).
2. Формулы площади треугольника и трапеции (без вывода).
3. Один из углов прямоугольного треугольника равен 30°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 36 см. Найдите стороны треугольника.
4.
а) докажите, что BH ? DP = ВС ? CD;
б) найдите косинус угла CDP, если синус угла НВС = 3/5.
5. Через центр квадрата ABCD проведены две взаимно перпендикулярные прямые, каждая из которых пересекает противоположные стороны квадрата. Докажите, что отрезки этих прямых, заключенные внутри квадрата, равны между собой.
Билет № 17
1. Свойство биссектрисы треугольника (с доказательством).
2. Прямая, обратная, противоположная и обратная к противоположной теоремы. Сущность метода доказательства от противного.
3. Найдите углы правильного десятиугольника.
4. Даны точки М(0; 4), Р (2; 1), К (2; -2), Т (0; -5):
а) докажите, что четырёхугольник МРКТ – трапеция;
б) равны ли углы МРК и РКT?
5. Из вершины М тупого угла параллелограмма MNKP проведены перпендикуляры МН1 и МН2 к прямым NK и КР. Найдите углы параллелограмма, если угол Н1МН2 = 70°.
Билет № 18
1. Свойство точки пересечения медиан (с доказательством).
2. Теорема о пропорциональных отрезках (без доказательства).
3. BD является высотой равнобедренного треугольника ABC (АВ = ВС); угол ABD = 17°, AD = 9 см. Найдите углы DВС, ABC и основание АС.
4. В прямоугольнике МНРК диагонали пересекаются в точке О, РК = 2, угол МОК = 120°. Вычислите скалярное произведение векторов.
5. В треугольнике ABC АВ = 4,2 см, АС = 2,7 см, длина ВС выражается целым числом. Найдите её.
§ 3. Экзаменационный комплект № 3 (углубленный уровень)
Билет № 1
1. Признаки равенства треугольников.
2. Соотношение между вписанным и центральным углами в окружности, опирающимися на одну дугу.
3. В параллелограмме ABCD угол BCD равен 60°, длина стороны АВ равна а. Биссектриса угла BCD пересекает сторону AD в точке N. Найдите площадь треугольника NCD.
4. Дан правильный 30-угольник A1A2...A30 с центром О. Найдите угол между прямыми ОА3 и А1А4.
Билет № 2
1.
2. Докажите, что если через произвольную точку S провести две прямые, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то AS ? BS = CS ? DS.
3. Квадрат со стороной 3 см срезан по углам так, что образовался правильный восьмиугольник. Найдите сторону восьмиугольника.
4. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высота равна 10, а диагонали взаимно перпендикулярны.
Билет № 3
1. Признаки равенства прямоугольных треугольников.
2. Окружность и круг. Длина окружности и площадь круга. Площадь кругового сектора и сегмента.
3. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, у которого все углы равны, если сумма его внешних углов с одним из внутренних равна 468°?
4. Докажите, что в параллелограмме ABCD расстояния от любой точки диагонали АС до прямых ВС и CD обратно пропорциональны длинам этих сторон.
Билет № 4
1. Геометрическое место центра описанной около треугольника окружности.
2. Сумма углов выпуклого n-угольника.
3. Стороны прямоугольника равны а и b. На стороне а, как на диаметре, построена окружность. На какие отрезки окружность делит диагональ прямоугольника?
4. В треугольнике ABC на стороне ВС взята точка М так, что MB = МС, а на стороне АС взята точка К так, что АК = 3 ? КС. Отрезки ВК и AM пересекаются в точке О. Найдите AO/AM.
Билет № 5
1. Признаки подобия треугольников.
2. Многоугольники. Правильные многоугольники. Величина угла в правильном n-угольнике.
3. В параллелограмме с периметром 32 см проведены диагонали. Разность между периметрами двух смежных треугольников равна 8 см. Найдите длины сторон параллелограмма.
4. Точка находится внутри круга радиуса 6 и делит проходящую через неё хорду на отрезки длиной 5 и 4. Найдите расстояние от точки до окружности.
Билет № 6
1. Признаки параллельности прямых.
2. Теорема Пифагора.
3. Две окружности с радиусами R = 3 и r = 1 касаются внешним образом. Найдите расстояния от точки касания окружностей до их общих касательных.
4. Найдите длину стороны квадрата, вписанного в равнобедренный треугольник с основанием а и боковой стороной b так, что две его вершины лежат на основании, а две другие вершины – на боковых сторонах.