Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс
Шрифт:
Билет № 7
1. Докажите, что если параллельные прямые пересечены третьей прямой, то образовавшиеся внутренние накрест лежащие углы равны.
2. Выведите формулу R = abc/4S, где R – радиус описанной около треугольника окружности; а, b, с – длины его сторон, S – площадь треугольника.
3. Длины параллельных сторон трапеции равны 25 и 4, а длины боковых сторон равны 20 и 13. Найдите высоту трапеции.
4. Сторона квадрата, вписанного в окружность, отсекает сегмент, площадь которого (2? – 4) см2.
Билет № 8
1. Касательная к окружности и её свойство. Виды касания окружностей.
2. Формула Герона.
3. Основание равнобедренного треугольника равно 4?2, медиана боковой стороны равна 5. Найдите длину боковой стороны.
4. В прямоугольнике ABCD точки М и N – середины сторон АВ и ВС. Точка О – точка пересечения AN и DM. Найдите AO/ON.
Билет № 9
1. Свойства параллелограмма.
2. Свойство биссектрисы треугольника; длина биссектрисы.
3. Из точки D, лежащей на катете АС прямоугольного треугольника ABC, на гипотенузу СВ опущен перпендикуляр DE. Найдите длину CD, если СВ = 15, АВ = 9, СЕ = 4.
4. Диаметр окружности радиуса R является основанием правильного треугольника. Вычислите площадь той части треугольника, которая лежит вне данного круга.
Билет № 10
1. Свойства и признаки ромба, прямоугольника, квадрата.
2. Теорема синусов. Докажите, что отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равно диаметру описанной окружности.
3. Основание треугольника равно ?2. Найдите длину отрезка прямой, параллельной основанию и делящей площадь треугольника пополам.
4. В равнобедренной трапеции даны основания а = 21, b = 9 и высота h = 8. Найдите длину описанной окружности.
Билет № 11
1. Теорема Фалеса и её обобщение (теорема о пропорциональных отрезках).
2. Геометрическое введение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла. Решение прямоугольных треугольников.
3. В пересечение двух равных кругов вписан ромб с диагоналями 12 и 6 см. Найдите радиус окружностей.
4. Высота ромба равна 12, а одна из его диагоналей равна 15. Найдите площадь ромба.
Билет № 12
1. Свойство средней линии трапеции.
2. Основные тригонометрические тождества.
3. В треугольник вписана окружность с радиусом 4. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки, длины которых 6 и 8. Найдите длины сторон треугольника.
4. Параллелограмм ABCD, у которого АВ = 153, AD = 180, BE = 135 (BE – высота), разделён на три одинаковые по площади фигуры прямыми, перпендикулярными AD. На каком расстоянии от точки А находятся точки пересечения этих перпендикуляров с AD?
Билет № 13
1. Уравнение прямой и окружности. Геометрический смысл коэффициентов k и b в уравнении y = kx + b. Взаимное расположение прямой и окружности.
2. Площадь четырёхугольника.
3. Докажите, что середины сторон равнобокой трапеции являются вершинами ромба.
4. Определите стороны треугольника, если медиана и высота, проведённые из вершины одного угла, делят этот угол на три равные части, а сама медиана равна 10 см.
Билет № 14
1. Векторы; действия с векторами. Скалярное произведение векторов.
2. Свойство медиан треугольника. Длина медианы.
3. Из одной точки проведены к окружности две касательные, каждая длиной 12 см. Расстояние между точками касания 14,4 см. Определите радиус окружности.
4. Площадь равностороннего треугольника, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, вдвое больше площади последнего. Определите углы прямоугольного треугольника.
Билет № 15
1. Признаки параллелограмма.
2. Теорема косинусов.
3. На основании равнобедренного треугольника, равном 8 см, как на хорде, построена окружность, касающаяся боковых сторон треугольника. Найдите радиус окружности, если длина высоты, опущенной на основание треугольника, равна 3 см.
4. В сектор с центральным углом в 60° вписан круг. При каком радиусе сектора площадь круга равна ??
Билет № 16
1. Критерий описанного около окружности четырёхугольника.
2. Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов I четверти.
3. В треугольнике ABC точка М – точка пересечения медиан. Выразите вектор AM через вектора АВ и АС.
4. Найдите площадь параллелограмма, если его диагонали равны 3 и 5, а острый угол параллелограмма – 60°.
Билет № 17
1. Геометрическое место центра вписанной в треугольник окружности.
2. Площадь параллелограмма.
3. Средняя линия трапеции равна 10 и делит площадь трапеции в отношении 3:5. Найдите длины оснований этой трапеции.
4. В треугольнике ABC проведены высоты AD и СЕ. Докажите, что треугольники ABC и DBE подобны. Чему равен коэффициент подобия?
Билет № 18
1. Теорема о разложении вектора по базису.
2. Докажите, что S = рr, где S– площадь треугольника, p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной окружности.
3. Известно, что в трапецию ABCD с основаниями AD и ВС можно вписать окружность и около неё можно описать окружность, EF – её средняя линия. Известно, что АВ + CD + EF = 18. Найдите периметр трапеции.
4. В равносторонний треугольник вписана окружность. Этой окружности и сторон треугольника касаются три малые окружности. Найдите сторону треугольника, если радиус малой окружности равен 1.