Гиперпространство
Шрифт:
Проблема возникает при обобщении всех диаграмм с петлями: мы видим, что они расходятся, как на рис. 6.1, б. Для поля Янга-Миллса мы могли бы с помощью хитроумных фокусов перетасовывать все эти бесконечные величины, пока не сократим их или не получим величины, не поддающиеся измерению. Однако можно продемонстрировать, что обычные способы перенормировки не срабатывают, если мы применяем их к квантовой теории гравитации. Более чем полувековые старания физиков каким-либо способом избавиться от этих бесконечностей оказались тщетными. Другими словами, попытки сокрушить «мрамор» с помощью грубой силы потерпели крах.
А потом в начале 80-х гг. XX в. возникло любопытное явление.
Ныне покойный физик Хайнц Пейджелс так вспоминал ажиотаж вокруг возрождения теории Калуцы-Клейна:
После 30-х гг. XX в. концепция Калуцы-Клейна впала в немилость и многие годы не находила применения. Однако вновь оказалась в фокусе внимания в наши дни, после того как физики испробовали все мыслимые способы объединения силы гравитации с другими видами взаимодействия. В отличие от 1920-х гг., сегодня перед физиками стоит задача объединить гравитацию не только с электромагнетизмом, но и. с сильным и слабым взаимодействиями. Для этого нужны и другие измерения помимо пятого [68] .
68
Хайнц Пейджелс «Идеальная симметрия: Поиски начала времен» (Heinz Pagels, Perfect Symmetry: The Search for the Beginning of Time, New York: Bantam, 1985), c. 327.
Даже нобелевский лауреат Стивен Вайнберг с энтузиазмом встретил ренессанс теории Калуцы-Клейна. Но нашлись и такие физики, которые скептически отнеслись к ее возрождению. Напоминая Вайнбергу, как трудно экспериментальным путем измерить эти компактифицированные измерения, Говард Джорджи из Гарварда сочинил следующий лимерик:
Стивен Вайнберг из Техаса Поразить решил всех нас: В шарик маленький свернул Весь избыток измерений Этот скромный гений [69] .69
Процитировано в: Криз и Манн «Второе сотворение», с. 417.
Хотя теория Калуцы-Клейна тоже была неперенормируема, живой интерес к ней пробудило то, что она давала надежду на «мраморную» теорию. Превращение уродливой, беспорядочной «деревянной» мешанины в чистую, элегантную «мраморную» геометрию было мечтой Эйнштейна. Но в 1930-е и 1940-е гг. о природе «дерева» почти ничего не знали. А к 1970 г. Стандартная модель наконец раскрыла его тайну: оказалось, что материя состоит из кварков и лептонов, связанных вместе полем Янга-Миллса и подчиняющихся симметрии SU (3) x SU (2) x U (1). Задача заключалась в том, как получить эти частицы и загадочные симметрии из «мрамора».
Поначалу казалось, что это невозможно. Ведь симметрии, о которых идет речь, — результат взаимообмена точечных частиц друг с другом. Если Nкварков мультиплета перетасовать, получится симметрия SU (AT). Она выглядит исключительно симметрией «дерева», а не «мрамора». Какое отношение SU (N)имеет к геометрии?
Превращение «дерева» в «мрамор»
Первая зацепка появилась в 1960-х гг., когда физики с радостью обнаружили, что есть
Для того чтобы понять, как симметрия возникает из пространства, представим себе обычный пляжный мяч. Он симметричен: мы можем вращать мяч относительно его центра, и форма мяча не изменится. Симметрия пляжного мяча, или сферы, называется О (3), или вращение в трех измерениях. Так и в высших измерениях гиперсферу можно вращать вокруг ее центра, чтобы она сохраняла прежнюю форму. Гиперсфера обладает симметрией О (N).
А теперь представим себе вибрацию пляжного мяча. На его поверхности образуются мелкие волны. Если воздействовать на мяч определенным образом, можно вызвать упорядоченные вибрации, которые называются резонансными. Эти резонансные колебания, в отличие от обычных мелких волн, имеют строго определенные частоты. Если вызвать у пляжного мяча достаточно быструю вибрацию, можно получить музыкальный тон определенной частоты. В свою очередь, эти вибрации можно описать симметрией О (3).
Общеизвестно, что мембрана, как и пляжный мяч, способна индуцировать резонансные частоты. Например, голосовые связки у нас в горле — это растянутые мембраны, которые вибрируют с определенной частотой, или резонансом, и поэтому могут производить звуки той или иной высоты. Еще один пример — наши органы слуха. Звуковые волны разных видов сталкиваются с нашей барабанной перепонкой, которая при этом резонирует с определенной частотой. Эти колебания затем преобразуются в электрические сигналы, поступающие в мозг, который интерпретирует их как звуки. По тому же принципу работает телефон. Металлическую диафрагму, которая есть в любом телефоне, приводят в движение электрические сигналы в телефонном проводе. При этом создаются механические вибрации и резонансные колебания в диафрагме, которая, в свою очередь, создает звуковые волны, которые мы слышим в трубке. По тому же принципу работают стереодинамики и оркестровые барабаны.
Таков эффект и для гиперпространства. Подобно мембране, оно может резонировать с различными частотами, которые, в свою очередь, могут определяться симметрией гиперпространства О (N).Вдобавок математики придумали в высших измерениях немало поверхностей сложной формы, описываемых комплексными числами. (В комплексные числа входит квадратный корень из -1, -1.) Отсюда ясно, как доказать, что симметрия, соответствующая сложной «гиперсфере», — это SU (N).
Ключевая мысль такова: если волновая функция частицы колеблется вдоль этой поверхности, то ей передается симметрия SU (AT). Таким образом, таинственную симметрию SU (N)из физики субатомных частиц теперь можно увидеть как побочный эффект вибрации гиперпространства.Иными словами, у нас появилось объяснение истоков загадочной симметрии «дерева»: на самом деле это скрытая симметрия, исходящая из «мрамора».
Если теперь мы возьмем теорию Калуцы-Клейна, определенную для 4 + Nизмерений, и свернем Nизмерений, то обнаружим, что уравнения разделяются на две части. Первая — это обычные уравнения Эйнштейна, которые мы восстанавливаем так, как и следовало ожидать. Но вторая часть уже не будет теорией Максвелла. Оказывается, все остальное — не что иное, как теория Янга-Миллса, образующая фундамент всей физики элементарных частиц! Это и есть ключ к превращению симметрии «дерева» в симметрию «мрамора».