Голая статистика. Самая интересная книга о самой скучной науке

Уилан Чарльз

Платье продается за 75 долларов до тех пор, пока новый заместитель директора универмага не примет решение повысить цену на 25 %. Именно в этом месте многие совершают ошибку, поскольку 25-процентное повышение цены вычисляется как процент от новой, сниженной цены платья, которая равняется 75 долларов. Повышение цены составит 0,25 x 75 долл. = 18,75 долл.; вот так и получается окончательная цена платья – 75 долл. + 18,75 долл. = 93,75 долл. (а не 100 долларов). Дело в том, что любое процентное изменение всегда дает значение какого-то числа относительно чего-либо еще. Следовательно, нам нужно лучше понять, что же представляет собой это «что-то еще».

Однажды я инвестировал деньги в компанию, основанную моим приятелем, с которым мы проживали в одной комнате студенческого общежития во время учебы в колледже. Поскольку это был частный бизнес, от его владельца не требовалось предоставлять акционерам строго определенный перечень сведений

о его деятельности. В течение нескольких лет мне ничего не было известно о судьбе моей инвестиции – бывший приятель предпочитал не распространяться на сей счет. Наконец я получил по почте письмо, в котором говорилось, что прибыль компании выросла на 46 % по сравнению с предыдущим годом. Какой была эта прибыль в абсолютных показателях, в письме не сообщалось, стало быть, я по-прежнему не имел ни малейшего представления об эффективности своих инвестиций. Допустим, в прошлом году эта фирма заработала 27 центов (то есть практически ничего), а в текущем – 39 центов (то есть опять-таки почти ничего). Тем не менее прибыль компании выросла с 27 центов до 39 центов, то есть на 47 %! Очевидно, что рассылка такого письма акционерам – если бы в нем указывалось, что прибыль, накопленная фирмой за два года, меньше стоимости чашки кофе в сети Starbucks, – принесла бы им не радость, а жестокое разочарование.

К чести моего приятеля должен заметить, что в конечном счете он продал свою компанию за несколько сотен миллионов долларов, заработав для меня стопроцентную прибыль на вложенный капитал. (Поскольку вы не знаете, какую именно сумму я вложил в этот бизнес, вы не можете знать, сколько денег я в результате заработал. Впрочем, это лишь подтверждает правильность мыслей, высказанных мною выше.)

Читателям следует уяснить еще одно важное различие. Процентное изменение не следует путать с изменением, выраженным в процентных пунктах. Ставки зачастую выражаются в процентах. Ставка налога с продаж в штате Иллинойс равняется 6,75 %. Я выплачиваю своему агенту 15 % с авторских гонораров, которые получаю за свои книги. Эти ставки применяются к той или иной величине (например, к доходу в случае ставки подоходного налога). Очевидно, что ставки могут изменяться в ту или иную сторону. Менее очевидным является то обстоятельство, что такие изменения ставок можно описывать по-разному. Самым показательным примером в этом отношении может служить недавнее повышение ставки индивидуального подоходного налога в штате Иллинойс с 3 % до 5 %. Такое изменение налога можно выразить двумя способами, причем оба технически корректны. Представители Демократической партии США, которые инициировали это повышение, объясняли (кстати говоря, совершенно правильно), что ставка подоходного налога в этом штате выросла на 2 процентных пункта (с 3 % до 5 %). Представители Республиканской партии США отмечали (также совершенно правильно), что подоходный налог в штате увеличился на 67 %. [Это является весьма удобным способом проверки формулы, приведенной выше: (5 - 3) / 3 = 2/3 , что приблизительно соответствует 67 %.]

Демократы сосредоточили внимание на абсолютном изменении налоговой ставки; республиканцы предпочли сфокусироваться на изменении величины налогового бремени. Как указывалось выше, оба описания правильны с технической точки зрения, хотя я настаиваю, что описание, предложенное республиканцами, более точно отражает влияние изменения этого налога, поскольку его величина, которую мне предстоит выплачивать государству – ведь именно она меня интересует, а вовсе не способ ее вычисления, – действительно повысится на 67 %.

Многие явления окружающей нас действительности невозможно идеально описать посредством какой-то одной статистики. Допустим, куортербек Аарон Роджерс выполняет броски на 365 ярдов, которые, однако, не являются тачдаун-пасами. Между тем Пейтон Мэннинг совершает броски лишь на 127 ярдов – но с тремя тачдаун-пасами. Мэннинг зарабатывал больше очков, но, возможно, именно Роджерс приносил своей команде больше тачдаунов (то есть пересечений мячом или игроком с мячом линии зачетного поля соперника). Кого из них считать более ценным игроком? В главе 1 я обсуждал так называемый рейтинг распасовщика, который по идее должен решить эту статистическую проблему и широко применяется Национальной футбольной лигой. Рейтинг распасовщика – пример индекса, представляющего собой описательную статистику, составленную из других описательных статистик. После того как разные показатели эффективности действий куортербеков удалось объединить в один, такая статистика может использоваться для сравнения игры куортербеков в определенный день или даже на протяжении всей спортивной карьеры. Если бы единый индекс такого рода существовал в бейсболе, то вопрос о том, кого следует считать лучшим бейсболистом всех времен и народов, удалось бы давно решить, не так ли?

Преимущество любого индекса заключается в том, что он консолидирует в едином показателе большой объем сложной

информации. После этого мы можем сопоставлять между собой вещи, которые в противном случае не поддаются простому сравнению (речь может идти о чем угодно, от сравнения эффективности действий куортербеков до конкурсов красоты или работы разных колледжей). При проведении конкурса «Мисс Америка» победитель определяется по результатам пяти отдельных соревнований: личное интервью, купальник, вечернее платье, индивидуальные способности и вопрос на сцене. («Мисс конгениальность» выбирают сами участницы путем индивидуального голосования.)

Парадокс, но то, что любой индекс консолидирует в едином показателе большой объем сложной информации, является также его недостатком. Вывести единый показатель можно бессчетным множеством способов, причем все они могут приводить к разным результатам. Малкольм Гладуэлл блестяще доказывает этот факт в одной из своих статей в еженедельнике The New Yorker, где высмеивает неизбывную тягу американцев к присвоению рейтингов буквально всему, что их окружает {9} . (Особенно досталось от Малкольма тем, кто составляет рейтинги учебных заведений.) Гладуэлл приводит пример присвоения журналом Car and Driver («Автомобиль и водитель») рейтинга трем моделям спортивных автомобилей: Porsche Cayman, Chevrolet Corvette и Lotus Evora. Используя формулу, которая включает двадцать одну переменную, Car and Driver поставил на первое место Porsche Cayman. Однако Гладуэлл указывает, что в формуле Car and Driver такой показатель, как «дизайн кузова», оценивается всего в 4 % от совокупного рейтинга, что для спортивного автомобиля смехотворно мало. Если бы «дизайн кузова» оценивался, к примеру, в 25 %, то на первом месте оказался бы Lotus Evora.

9

Malcolm Gladwell, The Order of Things, The New Yorker, February 14, 2011.

Но это еще не все. Гладуэлл также отмечает, что в формуле Car and Driver такой показатель, как рекомендованная цена автомобиля, тоже имел ничтожный вес. Если бы этому важному показателю был присвоен больший вес (так, чтобы у цены, дизайна кузова и характеристик двигателя были одинаковые весовые коэффициенты), то на первом месте оказался бы Chevrolet Corvette.

Любой индекс очень чувствителен к описательным статистикам, которые включены в его состав, а также к весу, присваиваемому каждой из составляющих. В результате диапазон индексов простирается от полезных, но весьма несовершенных инструментов, до полнейших курьезов. Примером первого может служить так называемый индекс человеческого развития (Human Development Index – HDI), применявшийся ООН. HDI разрабатывался как более широкий показатель экономического благосостояния, чем доход как таковой. Доход является лишь одним из компонентов HDI, который включает также показатели средней продолжительности жизни и уровня образования. По объему производства на душу населения Соединенные Штаты находятся на одиннадцатом месте в мире (пропустив вперед такие богатые запасами нефти страны, как Катар, Бруней и Кувейт), а по индексу человеческого развития занимают четвертое место в мире {10} . Правда, HDI-рейтинги слегка изменились бы в результате трансформации составных частей индекса, но вряд ли это бы привело к примерному равенству рейтингов Зимбабве и Норвегии. Иными словами, индекс HDI неплохо отражает текущую картину, касающуюся жизненных стандартов в разных странах мира.

10

CIA, World Factbook, и United Nations Development Program, 2011 Human Development Report, http://hdr.undp.org/en/statistics/.

Описательные статистики дают нам понимание сути интересующих нас явлений. Исходя из этого мы можем вернуться к вопросам, поставленным в начале главы. Кого же считать лучшим бейсболистом всех времен и народов? С точки зрения целей этой главы, гораздо важнее было бы выяснить, какие описательные статистики больше всего помогли бы нам ответить на этот вопрос. Согласно Стиву Мойеру, президенту Baseball Info Solutions, тройку ключевых статистик (кроме возраста) для оценивания эффективности действий любого игрока, за исключением питчера (подающего), составили бы следующие:

1. Процент попаданий в базу (on-base percentage – OBP), иногда называемый средним показателем попаданий в базу (on-base average – OBA). Оценивает процент успешных попаданий игрока в базу, в том числе и так называемые уоки (которые не учитываются в среднем показателе).

2. Процент отбивания (slugging percentage – SLG). Измеряет процент отбивания мячей путем вычисления совокупного количества попаданий в базу на каждый отбитый мяч. Одинарный оценивается в 1, двойной соответствует 2, тройной – 3, а хоумран – 4. Таким образом, процент отбивания у беттера (отбивающего), который отбил одинарный и тройной из пяти попаданий, составил бы (1 + 3) / 5, или 0,800.