Хаос и структура
Шрифт:
Это взаимоотношение, поскольку дробность представлена у нас как антитезис отрицания, сводится к тому, что дробность есть раскрытие отрицания, выявление его внутренней сущности. Когда мы говорим о чистом [175] отрицании и не вводим в него никаких посторонних моментов, оно является только голым принципом, внут–ренно не раскрытым и утвержденным в своей голой принципиальности. И пока это так, мы имеем только чистое становление, т. е. становление неизвестно чего и неизвестно какое; это становление тут ничем не заполнено, и неизвестно его направление. Но вот оно приходит в свое инобытие. Из голого факта отрицания оно превращается в раздельный, расчлененный факт становления; становление получает внутреннее содержание; в нем возникают точки, уже отличные одна от другой, и определенная связь между этими точками; становление превращается в едино–раздельную структуру и, следовательно, раскрывается, расцветает. И это–то и значит, что отрицание перешло в дробность. Голое отрицание было только некоей алогической силой; дробность же есть уже результат этой силы; алогическая сила становления пробила собою цельные и устойчивые стены смысла, и это привело к дроблению стен, привело к дробности. Так дробность, будучи антитезой отрицания, раскрывает это отрицание, обнаруживает его внутренний смысл и постро–яет его структуру.
175
В рукописи: частом.
Теперь мы сделаем все, чтобы быть в состоянии формулировать
3. Что получится при соединении стихии отрицания и стихии дробления? Отрицание есть в своем чистейшем виде становление, алогическое становление. Оно призвано выражать вовне внутреннюю сущность числа. Не раздельные акты четкого полагания есть метод внешнего выражения (как в случае с рациональным числом), но именно нерасчленимая и безразличная, сплошная тяжесть алогического становления. Стало быть, иррациональное число, куда [176] отрицание должно войти как один из двух необходимых порождающих моментов, во внешнем отношении есть прежде всего нечто становящееся, т. е. нечто, не выразимое никаким раздельным, расчлененным, конечным числом. Иррациональное число есть такое, когда никакие усилия арифметических действий не могут превратить единицу в ту или иную структуру, аналогичную данной иррациональности. Иррациональное число внешне есть всегда алогическое становление, т. е. оно всегда процесс, имеющий целью нечто выразить, но никогда не могущий выразить его адекватно. Иррациональное число поэтому требует бесконечное количество внешних актов счисления, чтобы адекватно выразиться вовне; и так как это количество практически никогда не выполнимо и не достижимо, то иррациональное число никогда и не имеет законченной внешней формы. Оно — всегда процесс, всегда становление, и притом алогическое становление (поскольку для него нет никаких фактически достижимых пределов и границ). Пусть мы имеем иррациональное число yjl. Сколько бы знаков мы ни получили при извлечении этого корня и с какой бы точностью мы его ни вычисляли, мы никогда не получим точного выражения для этого корня, ибо корень этот не есть четкий, пребывающий в покое числовой факт, но всегда— только процесс и алогическое становление. Вычисливши его с точностью до
176
В рукописи: когда.
Но и рациональное число есть не только чистое отрицание, или алогическое становление, но оно есть еще и дробность. Дробность переносит центр тяжести на внутреннее содержание числа и дает характеристику того внутреннего в числе, что именно должно быть выражено при помощи бесконечного алогического процесса. В чем же заключается внутренняя сущность иррациональности, если внешне последняя есть бесконечное алогическое становление?
Эта внутренняя сущность может являться только частично. Другое дело — в случае с рациональным числом. Там внутреннее целиком проявлено во внешнем, и в нем уже не остается ровно ничего, что было бы не проявлено. В иррациональном же числе всегда остается нечто невы–явленное и невыраженное, а при ближайшем рассмотрении оно оказывается даже и совсем невыразимым, недостаточным для адекватного выражения. Однако нечто здесь все–таки выражается. И не только нечто здесь выражается, но это выражение может простираться как угодно далеко, и внутренняя сущность числа может быть выражена с любой точностью, хотя и не с абсолютной. Если бы речь шла не о числе, а о какой–нибудь вещи, то невыразимая тайна ее обладала бы предметным характером и говорила бы о каких–то неведомых еще судьбах данной вещи. Но математика оперирует только с числом, и поэтому невыразимое имеет здесь исключительно числовой характер. В математике мы не можем назвать невыразимую стихию числа каким–нибудь собственным именем, ибо этого имени здесь нет. Мы можем здесь только чисто формально сказать, что выражаемое в иррациональном числе не выражает всей его внутренней сущности целиком и что она является здесь только отчасти, только частично, что она должна дробиться, чтобы быть выявленной. Вот почему, математически рассуждая о внутреннем содержании иррационального числа, можно сказать только то, что оно дробно, что оно есть дробность, а не целость и что только так понимаемое внутреннее содержание числа и может находиться в диалектическом синтезе с алогическим становлением. Будем помнить, что иррациональное число, как и рациональное, тоже есть синтез внутреннего и внешнего в числе, но что этот синтез должен говорить о невыразимом и невыража–емом в числе, т. е. о частичном выражении. Это и побуждает диалектика считать дробность тем внутренним, которое внешне выражено как иррациональное число.
4. Эта последняя мысль требует специальной фиксации. В иррациональном синтезе точно так же мы находим тождество внутреннего и внешнего, как и в рациональном. И не в том разница с рациональным числом, что в последнем налично это тождество, а в иррациональном его нет. В иррациональном числе это тождество вполне присутствует с той же силой, что и в рациональном числе. Но тут—совершенно иной тип тождества, оно—другое по своему смыслу, хотя формально–диалектически оно — ровно такое же тождество, что и в рациональном числе. Смысл же этого нового тождества заключается в том, что оно есть инобытие первого тождества, что первое тождество переходит здесь в свою противоположность и тем раскрывает свое внутреннее содержание. Поэтому и диалектические элементы, из которых рождается это новое тождество, иные, чем раньше, а именно противоположные тем; и поэтому нам пришлось говорить именно об отрицании, а не об утверждении и о дробности, а не о целости. Отрицание и дробность слиты здесь так же крепко и столь же интимно и неразрушимо в синтетическое тождество, как и полагание слито в синтез с целым числом в случае рациональности.
Когда говорится о невыразимости внутреннего, то, во–первых, эта невыразимость не утверждается здесь абсолютно, так что по крайней мере в некоторых отношениях тут необходимо устанавливать полное тождество внутреннего и внешнего. Однако если бы даже невыразимое принималось здесь в абсолютном смысле, то с диалектической точки зрения и в этом случае устанавливалось бы некое тождество между внутренним и внешним, так как только в дуалистической метафизике признается полная разорванность внутреннего и внешнего, что совершенно не выдерживает никакой диалектической критики. Когда мы говорим, что вещь невыразима, то этим самым мы нечто о ней все–таки выражаем; и, значит, она как–то, хотя бы и очень мало, выразима; и о ней нечто, хотя бы и очень незначительное, все же можно сказать. Но раз о вещи можно утвердить хотя бы некое малейшее смысловое качество, то отсюда выводимы решительно все диалектические категории. И поэтому, строго говоря, с диалектической точки зрения не может быть никакой вещи, абсолютно непознаваемой; и, значит, хотя бы в некотором отношении всегда можно установить то или иное тождество между невыразимым и выражаемым в вещи. Итак, внешнее отрицание и внутренняя дробность вполне тождественны в рациональном числе; и это тождество внутреннего и внешнего как раз и показывает здесь, что внутреннее невыразимо целиком и выразимо только частично, а внешнее не есть устойчивая и цельная картина, а только вечно изменчивая и приблизительная величина.
Итак: иррациональное число есть тождество внутреннего и внешнего инобытия числа, когда первое взято на стадии дробности, а второе—на стадии алогически становящейся отрицательности.
Или короче: иррациональное число есть тождество внутренней дробности и внешней алогически становящейся отрицательности.
5. В особенности ясна природа иррациональности, если ее применить геометрически. Возьмем прямоугольный треугольник,
А именно, это взаимное перекрытие рациональных и иррациональных точек на одной и той же линии показывает прежде всего, что мы имеем здесь дело не с отдельными изолированными полаганиями и утвержденно–стями, но с алогически отплывающей бездной бесконечного количества становящихся точек. Тут все как бы слито в одном нерасчлененном потоке становящейся линии; и как бы мы его ни измеряли, т. е. какие бы конечные и изолированные единицы меры мы к нему ни применяли, он все равно остается неизмеренным и, стало быть, неизмеримым. Но во–вторых, так же ясно, что эта непрерывная текучесть пронизывается вполне определенными сечениями, отдельными от тех сечений, которые произведены со стороны рационально размеренных количеств. Ясно, таким образом, что есть сама линия, есть ее перекрытие новым слоем, создающим ее алогически становящуюся отрицательность, и есть сечение этой отрицательности — мерами, цельными друг в отношении друга, и мерами, дробными друг в отношении друга. Когда алогическое становление рассекается дробными мерами, то последние в условиях становления превращаются в те или иные дробящиеся структуры. И следовательно, поскольку внешняя алогическая перекрытость линии действует во всем этом диалектическом обстоянии на первом плане, настолько внутренне, изнутри определяющая дробная структура выступает тоже на первый план, внедряясь во внешний алогический поток в виде тех или иных вполне реальных дробящихся структур.
Это и есть иррациональность.
1. а) Можно еще продолжить характеристику иррационального числа, пользуясь также одним из приемов общей диалектики. Прием этот заключается в том, что, получивши синтез, вновь начинают рассматривать тезис и антитезис, но уже в свете полученного синтеза; также и самый синтез в свете синтеза получает иную характеристику, детализирующую то, что было выведено раньше. Такой метод есть не что иное, как углубление и детализация полученного синтеза, что можно было бы достигнуть и без этого педантического приема, а просто путем более подробного раскрытия полученного синтеза. Но педантизма тут нечего бояться, гак как порядок и система, вносимые им в хаос математических представлений, никогда не могут быть вредными. Раз есть А и есть В и они тождественны с С, то это возможно только тогда, когда и А, и В, и само С могут быть представлены в свете полученного С и когда станет ясным, что же, собственно, случилось с А и В, когда они вступили в общее тождество и слились до неразличимости в С. Этот прием вносит весьма интересную детализацию изучаемого синтеза: отрицание— дробность — иррациональность; и мы получаем тут ряд очень важных и ходовых понятий математики.
b) Итак, что такое отрицание в свете иррациональности? Так поставленный, вопрос этот звучит не совсем понятно и требует разъяснений. Еще и еще раз вспомним, как диалектика понимает отрицание. Чистое отрицание есть становление, алогическое становление. Когда это становление было отождествлено с абсолютным числом, оно само абсолютизировалось и как бы остановилось, замерло на месте, превратившись в то, что математика называет отрицательным числом; но сейчас мы не связаны абсолютным числом, а берем отрицание само по себе, т. е. берем его как чистое алогическое становление. Во что оно превращается, если мы его станем рассматривать в свете иррациональности? Другими словами, что нужно сделать с чистой отрицательностью алогического становления, чтобы получить из него иррациональность? Собственно говоря, алогическое становление уже само по себе есть нечто иррациональное, хотя еще и не есть иррациональное число. Иррационально оно потому, что оно внутренно нерасчленимо, сплошно, да и само название «алогическое», употребляемое нами все время, есть то же, что и «иррациональное», хотя, повторяем, это еще не значит, что отрицательно данное [177] становление тем самым есть уже иррациональное число. Однако если чистая отрицательность становления есть нечто иррациональное, то вопрос о ней как о данной в свете иррационального может быть только вопросом о том, что делается с отрицанием, если внести в него именно момент числа, момент устойчивой числовой структуры, какую мы нашли в иррациональном числе. Чтобы не [сбиться] с ясного диалектического пути, будем твердо помнить, что это не может быть внесением в отрицательность структуры абсолютного числа, что мы уже имели в случае с отрицательным числом. Когда мы берем чистую отрицательность и объединяем ее с абсолютным числом, мы, как надо помнить, получаем отрицательное число. И сейчас речь не об этом. Мы вносим в чистую отрицательность момент не абсолютного числа, т. е. момент не того числа, о котором нельзя сказать ни того, что оно положительное или отрицательное, ни того, что оно целое или дробное, и т. д. (стало быть, число просто), но как раз — момент иррационального числа. И поэтому в результате должно получиться уже никак не просто отрицательное число, а нечто другое. А так как в отрицательности уже есть иррациональность и мы не уничтожаем ее отождествлением с абсолютным числом, то внесение в нее момента иррационального числа есть не что иное, как внесение момента числа, но без остановки становления, являющегося сущностью отрицания, а, наоборот, с сохранением этого становления, поскольку без него немыслимо вносимое сюда иррациональное число.
177
В рукоииси: отрицательно-данное.
Но что же получается? Надо внести устойчивую числовую структуру в стихию чистого становления. Прежде чем к этому приступить, сделаем еще одно предварительное замечание или, вернее, напоминание. Иррациональное число трехсоставно: в нем есть измеряемое, измеряющее и само измерение. То же и в рациональном числе. В рациональном, иррациональном и мнимом числе есть внутреннее содержание, внешнее инобытие и тождество того и другого в едином выразительном лике. Следовательно, внося в чистую отрицательность и в становление момент устойчивой числовой структуры, как она входит в иррациональное число, мы вносим сюда и антитезу внутреннего и внешнего, даваемую с точки зрения того или иного определенного их взаимоотношения. Значит, получится становящееся число, являющее в процессе своего становления определенное взаимоотношение своего внутреннего и внешнего содержания. Вот к какому результату мы приходим, если начнем рассматривать чистую отрицательность действительно в свете иррационального синтеза.