Интернет-журнал "Домашняя лаборатория", 2007 №2

Журнал «Домашняя лаборатория»

Плотность энергии электрического поля равна w = Е²/(8?k). Тогда энергию поля, сосредоточенного вблизи кольца, можно оценить как

W = интеграл wdV, где dV = (2?R)•(2?r)dr,

откуда W = kQ²ln(R/r)/(2?R).

Натяжение вдоль большой и малой образующей кольца-тора находится как изменение электростатической энергии при изменении соответствующего радиуса:

T_R = — dW/d(2?R) = kQ²•(ln(R/r) — 1)/(4?²R²),

что

при R >> r дает

T_R = kQ² ln(R/r)/(4?²R²), (1)

T_r = — dW/d(2?г) = kQ²/(4?²Rr) (2)

(дополнительные 2? в знаменателе возникли потому, что на самом деле производная берется не по радиусу, а по длине окружности).

Анализируя выражения (1) и (2), можно видеть, что разрывающие силы пропорциональны квадрату заряда тора. Сила T_R обратно пропорциональна квадрату радиуса большой образующей тора и слабо (логарифмически) зависит от отношения большого радиуса тора к малому. Сила Т_г обратно пропорциональна как большому, так и малому радиусу тора.

Очевидно, что сила T_R, стремящаяся растянуть наш тор вдоль большой окружности, меньше силы Т_г, стремящейся растянуть его вдоль малой образующей (сделать бублик толще) в отношении T_R/T_r = (r/R)•ln(R/r). Поскольку логарифм является медленной функцией по сравнению со степенной, то при R» r T_R/T_r ~ r/R.

Силы T_R и Т_г направлены вдоль поверхности тора нормально к малой и к большой образующим тора соответственно. Если сравнить силы натяжения на единицу длины ?_R = T_R/(2?г) и ?_r = T_r/(2?R), то окажется, что натяжения поверхности тора по обоим направлениям практически равны (но вдоль длинной образующей натяжение все-таки немного (логарифмически) больше).

Т.е. видно, что «тонкий» тор (пер R >> r) будет разорван электростатическими силами, когда разрывающее усилие превзойдет предел прочности сплошного тора на разрыв:

kQ²/ 4?²R²) > ??r²,

где ? — предел прочности материала тора на разрыв.

Этот критерий на разрыв кольца легко получить методом размерностей с точностью до коэффициента.

Воробьев П.В.

• ВОПРОС 84: Расскажите подробнее о дискретизации и квантовании цифрового сигнала.

ОТВЕТ: В последнее время в технике идет переход на цифровые методы обработки информации. Это связано с тем, что цифровую информацию легче хранить (появились дешевые и удобные устройства для хранения информации, такие как жесткие диски компьютеров или лазерные диски), а также с тем, что цифровую информацию легко передавать по современным линиям связи практически без потерь.

Аналоговый сигнал — это в простейшем случае число x(t), зависящее от времени t. При записи на носитель информации или воспроизведении с него сигнал неизбежно искажается различного рода шумами. Восстановить искаженный сигнал (убрать шумы) нельзя. Можно, конечно, пытаться подавлять шумы, используя некоторую дополнительную информацию (например, можно подавлять частоты, в которых сосредоточены шумы), но при этом мы теряем также и информацию о самом сигнале, т. е. опять же вносим искажения.

При оцифровке сигнала x(t) производятся две операции — дискретизация и квантование. Дискретизация — это замена сигнала x(t) с непрерывным временем t на дискретизованный сигнал — последовательность чисел x(t₁) для дискретного набора моментов времени t₁, t₂…, t_i… (чаще всего интервалы между моментами времени ?t = t_i — t_i-1 берутся одинаковыми). При дискретизации, конечно, часть информации о сигнале теряется. Но если сигнал x(t) за время ?t не сильно изменяется, числа x(t_i) и x(t_i-1) близки друг к другу, то поведение x(t) между временами t_i и t_i-1 нетрудно восстановить (сигнал практически линейно изменяется во времени от x(t_i-1) до x(t_i). При дискретизации мы теряем частотные составляющие сигнала с частотами порядка f ~ 1/?t и выше.

При дискретизации время из аналогового как бы становится цифровым — моменты времени t_i можно нумеровать, кодировать. Производится замена непрерывного времени t на нечто, которое может принимать не все значения, а только некоторые, а именно t₁, t₂,…, t_i… Квантование сигнала — это нечто похожее, только данная процедура производится не со временем, а со значением сигнала х. Выбирается некий набор возможных значение сигнала x₁, х₂,…, х_n… и каждому x(t_i) сопоставляется ближайшее число из этого набора.