Чтение онлайн

на главную - закладки

Жанры

Истина и красота. Всемирная история симметрии.
Шрифт:

В качестве второго примера рассмотрим, что делает UQ. Преобразования выполняются следующим образом:

Как симметрии равностороннего треугольника соответствуют перестановкам.

Мы видим, чему равен результат перемножения симметрий: он равен P. Значит, UQ = P.

Из наших шести симметрий можно можно образовать тридцать шесть произведений, а вычисления можно свести в таблицу

умножения. Получается в точности та же таблица , которая у нас была для шести перестановок корней кубического уравнения.

Обнаруженное совпадение дает пример одного из наиболее мощных методов во всей теории групп. Его истоки — в работах французского математика Камиля Жордана, до известной степени превратившего теорию групп из метода анализа решений уравнений в радикалах в самостоятельный предмет.

Около 1870 года Жордан привлек внимание к тому, что сейчас называют теорией представлений. Для Галуа группы были составлены из перестановок — способов перетасовки символов. Жордан начал задумываться о способах перетасовки более сложных пространств. Среди наиболее фундаментальных пространств в математике имеются многомерные пространства, а их самое важное свойство состоит в существовании прямых линий. Естественный способ преобразования такого пространства состоит в том, чтобы прямые линии оставались прямыми. Никаких изгибов, никаких скручиваний. Имеется много преобразований такого рода — вращения, отражения, изменения масштаба. Все они называются линейными преобразованиями.

Английский юрист и математик Артур Кэли открыл, что любое линейное преобразование можно связать с матрицей — квадратной таблицей из чисел. Любое линейное преобразование трехмерного, например, пространства можно задать, записав таблицу размером 3 на 3 из вещественных чисел. Так что преобразования можно свести к алгебраическим вычислениям.

Теория представлений позволяет начать с группы, которая не состоит из линейных преобразований, и заменить ее некоторой группой, состоящей из линейных преобразований. Преимущество конвертации группы в группу матриц состоит в том, что матричная алгебра является очень глубокой и мощной, и Жордан был первым, кто это увидел.

Взглянем на симметрии треугольника с Жордановой точки зрения. Вместо размещения разных кружков по углам треугольника я расставлю там символы a, b, c,соответствующие корням общего кубического уравнения. Тогда становится очевидным, что каждая симметрия треугольника также переставляет эти символы. Например, вращение Uотправляет abcв cab.

Шесть симметрий треугольника естественно соответствуют шести перестановкам корней a, b, c. Более того, произведение двух симметрий соответствует произведению соответствующих перестановок. Но вращения и отражения в плоскости являются линейными преобразованиями — они сохраняют прямые линии. Так что мы по-другому интерпретировали группу перестановок — представили ее— как группу линейных преобразований, или, что то же самое, как некую группу матриц. Этой идее предстояло привести к глубоким следствиям как в математике так и в физике.

Глава 8

Посредственный инженер и трансцендентный профессор

Симметрия перестала быть туманным ощущением скрытого порядка или художественным восприятием изящества и красоты. Она превратилась в ясную математическую

концепцию со строгим логическим определением. Появилась возможность вычислять симметрии и доказывать о них теоремы. Родился новый предмет — теория групп. Погоня человечества за симметрией достигла поворотной точки. В качестве платы за вход в сообщество посвященных требовалась готовность мыслить более концептуально. Концепция группы носила абстрактный характер, на несколько шагов удаленный от традиционного «простого продукта», состоящего из чисел и геометрических форм.

Группы уже доказали, чего они стоят, когда была решена вековая загадка — вопрос о разрешимости уравнений пятой степени. Вскоре стало ясно, что тот же круг идей позволяет разобраться и с несколькими другими задачами, неразрешимыми в течение веков. При этом не всегда привлекалась именно теория групп как таковая — порой требовалось рассуждать так, как рассуждали Абель, Галуа и их последователи. И даже когда казалось, что группы не используются, они на самом деле находились совсем рядом, под самой поверхностью вещей.

Среди нерешенных задач, доставшихся потомкам в наследство от греческих геометров, три приобрели вызывающую известность — задача о трисекции угла, задача об удвоении куба и задача о квадратуре круга. Даже сегодня трисекция угла и квадратура круга привлекают к себе внимание многочисленных любителей, которые, по-видимому, не вполне охватили своим умом то обстоятельство, что когда математики говорят «невозможно», то именно это и имеется в виду. Удвоение куба несколько отстает по уровню популярности.

Об этих трех задачах часто говорят как о «трех задачах Античности», но такое определение создает преувеличенное представление об их важности. Из-за него они как будто стоят в одном ряду с главнейшими загадками в истории, такими как Последняя теорема Ферма, на которую не удавалось дать ответ в течение более 350 лет. Однако отличие здесь в том, что все ясно сознавали: Последняя теорема Ферма — нерешенная задача, причем можно конкретно указать, когда именно она была впервые поставлена в математической литературе. Все математики были в курсе относительно не только самой задачи, но и предполагаемого ответа, а также относительно того, кто первым поставил этот вопрос.

Греческие задачи — иные. Их не найти у Эвклида в перечне нерешенных, требующих внимания задач. Они существовали главным образом по умолчанию, как очевидные попытки обобщить полученные ранее успешные результаты, но почему-то Эвклид предпочитал их не упоминать. Почему? Потому что никто не знал, как взяться за их решение. Приходило ли грекам на ум, что они могут вовсе не иметь решения? Если и так, то никто не поднимал по этому поводу шума. Без сомнения, таким людям как Архимед приходило в голову, что эти задачи невозможно решить, используя циркуль и линейку, поскольку он разработал альтернативные методы, однако нет никаких свидетельств, что сам по себе вопрос о возможности построения представлялся Архимеду важным.

Этот вопрос приобрел важность позднее. Отсутствие решений этих задач свидетельствовало о серьезных пробелах в достигнутом человечеством понимании геометрии и алгебры; они вошли в моду как «фольклорные» задачи, известные профессионалам через некое подобие культурного осмоса. К тому времени как было получено их решение, они приобрели ауру исторической и математической значительности. Их решение воспринималось как важнейший прорыв — в особенности это касалось квадратуры круга. И ответ во всех трех случаях был один и тот же: «невозможно». Невозможно с использованием традиционных инструментов — циркуля и линейки.

Поделиться:
Популярные книги

Младший сын князя. Том 2

Ткачев Андрей Юрьевич
2. Аналитик
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Младший сын князя. Том 2

Чужая дочь

Зика Натаэль
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.00
рейтинг книги
Чужая дочь

Возвышение Меркурия. Книга 12

Кронос Александр
12. Меркурий
Фантастика:
героическая фантастика
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Возвышение Меркурия. Книга 12

Морозная гряда. Первый пояс

Игнатов Михаил Павлович
3. Путь
Фантастика:
фэнтези
7.91
рейтинг книги
Морозная гряда. Первый пояс

Завод 2: назад в СССР

Гуров Валерий Александрович
2. Завод
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
фэнтези
5.00
рейтинг книги
Завод 2: назад в СССР

Последняя Арена 6

Греков Сергей
6. Последняя Арена
Фантастика:
рпг
постапокалипсис
5.00
рейтинг книги
Последняя Арена 6

Инквизитор тьмы 3

Шмаков Алексей Семенович
3. Инквизитор Тьмы
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
аниме
5.00
рейтинг книги
Инквизитор тьмы 3

Орден Багровой бури. Книга 4

Ермоленков Алексей
4. Орден Багровой бури
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
5.00
рейтинг книги
Орден Багровой бури. Книга 4

Черный дембель. Часть 3

Федин Андрей Анатольевич
3. Черный дембель
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Черный дембель. Часть 3

Попаданка в деле, или Ваш любимый доктор - 2

Марей Соня
2. Попаданка в деле, или Ваш любимый доктор
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
7.43
рейтинг книги
Попаданка в деле, или Ваш любимый доктор - 2

Кодекс Крови. Книга I

Борзых М.
1. РОС: Кодекс Крови
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Кодекс Крови. Книга I

Убивать чтобы жить 6

Бор Жорж
6. УЧЖ
Фантастика:
боевая фантастика
космическая фантастика
рпг
5.00
рейтинг книги
Убивать чтобы жить 6

Законы Рода. Том 12

Flow Ascold
12. Граф Берестьев
Фантастика:
юмористическое фэнтези
аниме
фэнтези
5.00
рейтинг книги
Законы Рода. Том 12

Наваждение генерала драконов

Лунёва Мария
3. Генералы драконов
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.00
рейтинг книги
Наваждение генерала драконов