Истина и красота. Всемирная история симметрии.
Шрифт:
Число вполне заслуженно знаменито из-за своей связи с окружностями и сферами. Кроме него математика содержит и другие замечательные числа, наиболее важное из которых — вероятно, даже более важное, чем — известно как e. Его численное значение приближенно равняется 2,71828, и, как и , оно иррационально. Это число появилось в 1618 году, на заре истории логарифмов; оно правильно определяет банковский процент, если вычислять сложные проценты по все более и более коротким отрезкам времени. В письме Лейбница к Гюйгенсу от 1690 года оно было обозначено буквой b. Обозначение eбыло введено Эйлером в 1727 году и впервые появилось в печати в «Механике» в 1736-м.
Используя комплексные числа,
Один из учеников Эрмита, знаменитый математик Анри Пуанкаре, заметил, что мозг Эрмита работал необычным образом: «Назвать Эрмита логиком! Ничто, на мой взгляд, не лежит дальше от истины. Создавалось впечатление, что методы возникают у него в голове каким-то непостижимым образом». При доказательстве трансцендентности числа eэто сослужило Эрмиту добрую службу. Доказательство представляло собой развитое обобщение данного Ламбертом доказательства иррациональности числа . В нем также использовался анализ; предлагалось вычислить некий интеграл двумя способами; и если бы eбыло алгебраическим, то два полученных ответа не совпадали бы: один равнялся бы нулю, а другой нет. Трудный шаг состоял в том, чтобы найти, какой именно интеграл надо вычислить.
Доказательство как таковое занимает около двух печатных страниц. Но что это за чудесные страницы! Можно было бы искать всю жизнь и не найти правильный интеграл.
Число e, по крайней мере, представляет собой «естественный» объект в математических исследованиях. Оно присутствует в математике повсеместно, и оно жизненно важно, в особенности в комплексном анализе и в теории дифференциальных уравнений. Хотя Эрмит и не продавил задачу о числе , он по крайней мере продвинулся вперед по сравнению с достаточно искусственным примером Лиувилля. Теперь математики знали, что вполне обыденные математические операции естественным образом приводят к числам, которые оказываются трансцендентными. Один из последователей Эрмита вскоре использовал его идеи, чтобы доказать, что среди этих чисел есть и число .
Карл Луис Фердинанд фон Линдеманн родился в 1852 году в семье филолога Фердинанда Линдеманна и дочери директора школы Эмили Крузиус. Фердинанд переходил с одного места работы на другое и, в частности, побывал директором газового завода.
Как и многие студенты в Германии в конце девятнадцатого столетия, Линдеманн-младший переезжал из одного университета в другой — из Геттингена в Эрланген, оттуда в Мюнхен. В Эрлангене он защитил диссертацию по неэвклидовой геометрии под руководством Феликса Клейна. Он путешествовал за границу, в Оксфорд и Кембридж, а затем в Париж, где познакомился с Эрмитом. В 1879 году, защитив диссертацию, дающую право преподавать в высшем учебном заведении, он стал профессором в университете Фрайбурга. Четыре года спустя он перебрался в Кенигсбергский университет, где встретил свою будущую жену Элизабет Кюсснер — дочь преподавателя, игравшую в театре. Десять лет спустя он стал полным профессором в Мюнхенском университете [33] .
33
В
В 1882 году, на полпути между поездкой в Париж и своим назначением в Кенигсберг, Линдеманн понял, как распространить метод Эрмита на доказательство трансцендентности числа . Именно это и принесло ему славу. Некоторые историки полагают, что Линдеманну просто повезло — что он просто случайно наткнулся на правильное обобщение блестящей идеи Эрмита. Но, как однажды заметил гольфист Гари Плеер, «чем лучше я играю, тем больше мне везет». Так же, по-видимому, обстояло дело и с Линдеманном. Если могло повезти кому-то, то почему не повезло Эрмиту? Позднее Линдеманн обратился к математической физике, занявшись исследованиями электрона. Наиболее известным из его учеников был Давид Гильберт.
Данное Линдеманном доказательство трансцендентности числа опиралось на метод, впервые использованный Ламбертом и развитый Эрмитом: придумать подходящий интеграл, вычислить его двумя способами и показать, что если число алгебраическое, то ответы не согласуются. Интеграл был очень тесно связан с тем, который использовал Эрмит, только еще более сложному. Связь между eи выражалась в прекрасном соотношении, открытом Эйлером. Если бы было алгебраическим, то eприобрело бы некоторые новые неожиданные свойства — похожие на свойства алгебраических чисел, но все же отличающиеся от них. Ядро доказательства Линдеманна относилось к числу e, а не к .
С появлением доказательства Линдеманна эта глава математики пришла к своему первому действительно важному выводу. Невозможность квадратуры круга оказалась не более чем побочным эффектом. Гораздо важнее для математиков было понять, почему так происходит. Теперь они могли двигаться вперед и развивать теорию трансцендентных чисел, которая сегодня представляет собой активную (и дьявольски сложную) область исследований. Даже наиболее очевидные и на вид правдоподобные гипотезы о трансцендентных числах остаются по большей части недоказанными.
Вооруженные достижениями Абеля и Галуа, мы можем вернуться к задаче о построении правильных многоугольников. Для каких чисел nможно построить правильный n-угольник циркулем и линейкой? Ответ на этот вопрос весьма необычен.
В Disquisitiones ArithmeticaeГаусс сформулировал необходимые и достаточные условия на целое число n, но доказал только их достаточность. По его утверждению, у него было доказательство, что те же условия являются и необходимыми, но, как и большая часть его результатов, оно осталось неопубликованным. Гаусс в действительности выполнил сложную часть работы, а Ванцель привел недостающие подробности в своей статье 1837 года.
Чтобы лучше понять данный Гауссом ответ, рассмотрим правильный 17-угольник. Что есть такого в числе 17, что позволяет построить правильный многоугольник с 17 сторонами? Почему это невозможно, скажем, для чисел 11 или 13? Заметим, что все эти три числа — простые. Легко показать, что если правильный n-угольник допускает построение, то можно построить правильный p-угольник для каждого простого числа p, на которое делится n. Надо просто взять каждый n/ p– угол. Например, если взять каждую третью вершину в правильном 15-угольнике, получим правильный 5-угольник. Так что имеет смысл рассматривать простое число сторон, а затем получить полное решение, используя результаты для простых чисел.