Из истории культуры древней Руси
Шрифт:
Исходя из наметившегося пропорционального соответствия делений трех шкал новгородского мерила соотношением трех видов саженей, возьмем в качестве малого катета М/2, в качестве большого катета — отрезок В. Тогда гипотенуза треугольника будет = ?((8,352)/2 + 5,932) = 7,2835, что отличается от средней величины (отрезок П = 7,31) всего лишь на 0,26 мм, т. е. значительно менее фактических отклонений деления внутри одной шкалы нашего мерила.
Все это заставляет нас признать, что три шкалы новгородского мерила соотносятся точно так же, как три основные русские архитектурные меры XI–XIII вв.:
мерная сажень — отрезок М — 8,35
прямая сажень — отрезок П — 7,31 см;
великая полусажень — отрезок В — 5,93 см.
Нельзя считать случайным, что мастером, изготовившим деревянное мерило, были отобраны именно те соотношения, которые (как мы убедились на примере церкви Пятницы) применялись зодчими, современниками этого мастера.
Однако фракции новгородского мерила совершенно не совпадают, как мы видели, с обычным для древней Руси последовательным делением саженей на 2, 4, 8, 16 и 32.
Пропорциональное соответствие делений новгородского мерила XIII в. соотношениям трех наиболее употребительных в новгородском зодчестве XIII в. саженей и полное несоответствие их обычным фракциям заставляет нас искать иной принцип деления саженей, чем локти, пяди и пясти.
Прежде всего, мы должны разделить каждую сажень на соответствующий ей отрезок мерила:
176,4:8,35 = 21,12;
152,76:7,31 = 20,89 (152,76:7,28 = 20,98);
124,73:5,93 = 21,04.
Среднее трех полученных частных = 21,01. Учитывая некоторую неточность нанесения делений на мерило, мы можем утверждать, что каждая сажень была разделена на 21 отрезок. Если отрезок М взять 21 раз, то мы получим 175,35. Здесь расхождение равняется 1,05 см на сажень. Отрезок П, взятый 21 раз, дает 153,51; расхождение — 0,75 см на сажень; отрезок В, будучи умножен на 21, дает почти полное соответствие великой полусажени: 124,53. Расхождение здесь всего-навсего равно 0,2 см на полусажень. При колебаниях самих делений трех шкал в диапазоне нескольких миллиметров этими ничтожными расхождениями следует пренебречь.
Истинное значение отрезков трех шкал новгородского мерила (или 1/21 сажени) должно быть таково: М = 8,4; П = 7,2743; В = 5,9395.
Если мы округлим до одного десятичного знака средние величины отрезков мерила и 1/21 каждой сажени, то получим полное равенство:
Получив такой надежный результат наших вычислений, мы можем задаться целью восстановить общий облик всего мерила в его первоначальном виде (рис. 30). Уже из того факта, что великая сажень представлена здесь судя по 1/21 только полусаженью, а прямая и мерная — целыми саженями, мы должны сделать вывод, что мерило равнялось наиболее крупной из участвующих здесь мерной сажени в 176,4 см, т. е. наиболее крупному отрезку мерила (М = 8,4 см), взятому 21 раз. Путеводной нитью для нас служит взаимное положение зарубок на всех трех шкалах сохранившегося обломка мерила. Следует отметить, что, судя по зарубкам, сделанным то в верхней, то в нижней стороне граней мерила, отсчет делений велся с разных концов жезла. Вычертив в натуральную величину развертку трех граней мерного жезла длиной в 176,4 см, нанеся на нее все 21 деление для каждой шкалы и перенеся на кальку развертку найденного обломка, мы путем совмещения можем найти ту единственную позицию, при которой деления всех трех шкал реального обломка совпадут с делениями теоретического мерного жезла, тоже разделенного на три шкалы. Как видно из чертежа, обломок представлял собою среднюю часть мерного жезла. Отсчеты делений прямой сажени и великой полусажени велись с разных концов жезла, очевидно, для того, чтобы предотвратить путаницу при пользовании мерилом.
Рис. 30. Реконструкция мерила в его полном виде (176,4 см).
У прямой сажени сохранились отрезки: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16; у великой: 14, 15, 16, 17. У мерной сажени мы не знаем начальной точки отсчета (так как она вся должна была быть равномерно покрыта зарубинами), и поэтому сохранившиеся зарубки могут быть 9-14 или 7-12.
Таким образом, мы можем теперь представить себе новгородское мерило: это был длинный четырехгранный деревянный брусок, равный размаху рук человека («маховая», или мерная, сажень). На трех его гранях были нанесены сажени мерная, прямая и половина великой сажени, разделенные каждая на 21 часть, а каждая такая часть, в свою очередь, делилась на 10 ногтей. Локти и пяди настолько были излишни для владельца мерила, что одна грань бруска осталась просто пустой без всяких зарубок и отметин, хотя отметки всех трех видов локтей должны были бы иметься на нашем обломке.
Каков же смысл неожиданного и загадочного деления трех важнейших саженей на 21 отрезок?
Может показаться, что деление на 21 связано со стремлением получить пропорции золотого сечения по известному «ряду Фибоначчи»: 1. 2. 3. 5. 8. 13. 21… В 21-м делении каждой сажени содержатся семь звеньев этого ряда. Сочинение Леонарда Пизанского (Фибоначчи) появилось в 1220 г., так что с большой натяжкой можно допустить знакомство новгородцев первой трети XIII в. не только с самим трактатом, но и с его принципом. Кроме того, здесь возникают два возражения. Во-первых, пропорции золотого сечения даются не точно, а во-вторых, этим целям прекрасно служила сама система русских саженей. Если бы для получения пропорций золотого сечения русский зодчий хотел применить принцип Фибоначчи, то ему незачем было делить сажени на особые, неупотребительные единицы, а достаточно было брать размеры по 5, 8, 13, 21 обычных локтей или их фракций.
Думаю, что разгадка сущности новгородского мерила лежит в другом.
Обратим внимание на то, что если 21 деление (любое) принять за диаметр круга, то длина окружности будет равняться 66 таким же делениям: 66/21 = 3,14 = ?. Со времен Архимеда ? определялось как 3 1/7, что соответствует нашей дроби 66/21 (рис. 31).
Рис. 31. Круг диаметром в мерную сажень (176,4 см). Отношение длины окружности = 66/21 ? ?.
Степень точности была совершенно достаточна для практических целей архитектора (и не только средневекового).
Возьмем в качестве примера центральную апсиду уже известной нам новгородской церкви Пятницы, внутренний поперечник которой равен двум мерным саженям. Длина полуокружности с радиусом в 176,4 (одна мерная сажень) = 3,141592… x 176,4 = 5 м 54 см 1,768288 мм. Если же мы вместо ? с 6 десятичными знаками поставим 66/21 (3,1428571…), то получим величину в 5 м 54 см 4,010924 мм. Погрешность во втором случае практически неощутима: 2,24 мм (!) на всю пятиметровую апсиду.
Мерило, подразделенное на 21 часть, давало возможность древнерусскому зодчему переводить окружность и отрезки окружности, дуги в линейные меры. Наличие трех шкал на мериле позволяло переводить в линейные меры дуги с радиусом в мерную или в прямую сажени или в великую полусажень.
Из всех вариантов архимедовой дроби для ? (22/7; 44/14; 66/21; 88/28; 110/35) вариант 66/21 был практически наиболее удобным, так как числитель делился не только на 2, но и на 3 и на 6, что было важно для зодчих, а остальные варианты не делились на 3.
Деление круга на 66 частей, а по существу на 660, так как каждая 1/21 была разделена на 10 «ногтей», заменяло принятое в других странах деление круга на 360 делений [173] . Деление круга на 660 частей заменяло русским зодчим деление на градусы и минуты и вполне удовлетворяло всем практическим требованиям.
173
Деление круга на 66 частей ближе всего подходит к современной артиллерийской практике, где круг делится на 60 крупных делений.