Избранные научные труды
Шрифт:
– n
e
in+iqt
вне цилиндра.
Пусть поверхность струи описывается уравнением
r-a
==
C
e
in+iqt
При r=a должны удовлетворяться условия
t
=-
1
r
=-
2
r
(82)
и
p
1
– p
2
=
T
1
R
.
(83)
Из
B=-Aa
2n
;
C=-iA
n
q
a
n-1
,
а из равенства (83)
1
1
t
–
2
2
t
+
F(t)
=
T
1
a
–
a^2
–
1
a^2
^2
^2
.
(84)
Подставляя в (84) значения 1, 2 и , имеем
q^2
=
T
1+2
n^3-n
a^3
.
Итак, мы рассмотрели влияние на изучаемое явление таких факторов, как вязкость жидкости, величина амплитуды волны и инерция воздуха 1. Складывая полученные результаты, получаем следующую формулу для определения коэффициента поверхностного натяжения (мы полагаем n=2, как это имеет место в экспериментах):
T
=
(
1
+
2
)
k^2a^3c^2
J
2
(iak)
(3+a^2k^2) iak J
'
2 (iak)
1+2
2
ca^2k
3/2
+
+3
2
ca^2k
2
1+
37
24
b^2
a^2
.
(85)
1 Все эти поправки следует считать аддитивными, так как можно показать, что и в случае наличия вязкости длина волны должна быть чётной функцией b/a.
Прежде чем переходить к экспериментальной части исследования, мы рассмотрим ещё один вопрос, который может представить определённый интерес при дальнейшем обсуждении.
Этот вопрос состоит в том, что в экспериментально создаваемых струях скорость в середине струи следует считать большей, чем вблизи поверхности. Приведённый ниже способ позволяет оценить меру затухания этой разницы скоростей, происходящего вследствие вязкости жидкости. Рассмотрим жидкий круговой цилиндр, каждая часть которого движется параллельно его оси, причём скорости в разных частях зависят лишь от расстояния до оси цилиндра и от времени.
Принимая ось цилиндра за ось z, имеем в применявшихся ранее обозначениях
=0, =0, w=f(r,t).
Из
Положим w=(r)e– t; тогда уравнение движения
^2w
–
Dw
Dt
=
p
z
переходит в
^2
r^2
+
1
r
r
+
=0.
Решением последнего уравнения, удовлетворяющим условию ограниченности при r=0, является
=CJ
0
(kr),
причём
k^2=
.
Динамическое условие на поверхности, (d/r)r=a=0, требует, чтобы k было корнем уравнения
J
'
0
(ka)
=0.
(Первыми четырьмя корнями этого уравнения являются k0a=0, k1a=·1,2197, k2a=·2,2330, k3a=·3,2383.) Следовательно, общее выражение для w имеет вид
w=
c
n
J
0
(k
n
r)
e
– /
k
2
n
t
.
Мы видим, что в этом выражении член с J0(k1r) убывает значительно медленнее всех остальных членов с более высокими индексами корней. Более того, для рассматриваемых струй упомянутый первый член будет преобладающим уже у самого отверстия, так как w/r должно сохранять знак в промежутке изменения r от 0 до a. Поэтому скорость некоторого элемента струи с высокой точностью может быть записана в виде
w=c
1
+
d
1
J
0
(k
1
r)
e
– t
,
=
·1,2197
a
^2
,
где t — время движения элемента, отсчитываемое с момента его выхода из отверстия.
ПОЛУЧЕНИЕ СТРУИ
При постановке эксперимента наиболее важной проблемой является получение струи, которая удовлетворяла бы предположениям, сделанным выше при теоретическом анализе, и в то же время совершала бы колебания только одного определённого типа.
Очевидно, нельзя надеяться выполнить эти требования на участке струи жидкости в непосредственной близости от отверстия. Не говоря уже о возможном изменении величины коэффициента поверхностного натяжения вследствие очень быстрого растяжения поверхности, было бы очень трудно получить чисто гармонические колебания в этой части струи, так как для этого требуется не только строго определённая форма сечения струи у отверстия, но и строго определённая скорость в каждой точке этого сечения. Хотя первому требованию можно удовлетворить соответствующим выбором формы отверстия [см. формулу (79)], несомненно, что второму требованию удовлетворить очень трудно, в частности, вследствие того, что скорость в середине струи по разным причинам всегда больше, чем вблизи поверхности. Поэтому очень большое значение имеет создание струи достаточно устойчивой, чтобы её колебания можно было изучить на значительном расстоянии от отверстия, где уже происходит выравнивание скоростей благодаря вязкости жидкости.