Камень, ножницы, теорема. Фон Нейман. Теория игр

Коллектив авторов

Мы имеем дело с неповторяющейся игрой, то есть с такой, в которую играют только один раз, и в ней нельзя принимать решения исходя из прошлых стратегий. К тому же это игра с нетрансферабельной полезностью и некооперативная, так как предполагается, что в ней нельзя устанавливать предварительные соглашения типа «если ты пойдешь со мной в кино, я заплачу за твой билет».

Стратегия минимакса привела бы нас к следующей ситуации.

Она на футбол

Она в кино

Он на футбол

1, 2

3, 3

3

Он в кино

4, 4

2, 1

4

4

3

Самые большие потери для него составляют 3 и 4, поэтому его минимакс

равен 3. Для нее — 4 и 3, и ее минимакс также равен 3. Это ситуация, в которой он идет на матч, а она в кино, где платежи составляют 3 и 3, что является лучшим вариантом для обоих. В данном случае стратегия минимакса не приводит к равновесию Нэша, так как один из игроков может поменять стратегию, чтобы получить больший выигрыш. Пока он в одиночестве идет на стадион, он может передумать и пойти в кино, получив таким образом больший платеж. Правда, при этом есть риск, что они оба передумают и понесут максимальные потери.

Сделав небольшое усилие, мы можем представить себе ситуацию, в которой все женщины любят футбол, а мужчины — кино. Но игра была бы в точности такой, как мы описали. Это значит, что игра симметрична. Внесем небольшое изменение, сделав ее асимметричной. Изменим порядок его предпочтений.

1. Они вместе идут на матч.

2. Он идет на матч, а она в кино.

3. Они вместе идут в кино.

4. Он идет в кино, а она на матч.

То есть он предпочитает пойти один на футбол, чем вместе в кино. В таком случае платежная матрица будет выглядеть следующим образом.

Она на футбол

Она в кино

Он на футбол

1, 2

2, 3

Он в кино

4, 4

3, 1

При такой перспективе понятно, что независимо от ее выбора он всегда выберет футбол, поскольку это будет выигрышным решением в любом случае. А для нее, учитывая, что он всегда выберет футбол, лучшим решением будет пойти вместе с ним. Тогда это и будет седловой точкой, равновесием Нэша, то есть стратегией, которую всегда выберут оба игрока. В таком случае говорится, что есть доминирующий выбор или что у игрока есть доминирующая стратегия, которая для него предпочтительнее всех остальных. Могут быть случаи, когда доминирующей стратегией располагают оба игрока. Парадокс предыдущей ситуации состоит в том, что эта эгоистичная доминирующая позиция «я пойду на матч все равно, с тобой или без тебя» приводит к лучшему результату, чем в предыдущем случае.

ТРАНСФЕРАБЕЛЬНАЯ ПОЛЕЗНОСТЬ

В статье «K теории стратегических игр», написанной в 1928 году, фон Нейман представил новый вариант игр с нулевой суммой и с количеством игроков большим 2. В их сценарии появилась новая переменная — возможные коалиции между игроками. Например, если имеется три игрока — А, В и С, — может случиться, что двое из них — А и В — объединятся против третьего, как если бы они были одним игроком, заключая договор о дележе выигрышей. В играх, изучавшихся до сегодняшнего дня, соперники не могли общаться друг с другом, чтобы заключать предварительные договоры. В этом случае говорят об играх с нетрансферабельной полезностью. Напротив, те игры, в которых игроки еще до начала игры могут общаться и заключать договоренности, называются играми с трансферабельной полезностью, или кооперативными.

Например, представим себе группу из трех друзей — А, В и С, — которым надо поделить между собой 100 евро. Решать, как будет происходить дележ, они будут простым голосованием, то есть большинством голосов. Возможными коалициями будут AB, АС_У ВСу а также четвертая — АВС. С такими исходными данными можно установить бесконечное количество платежей:

А = 33; В = 33; С = 34

А = 70; В = 30; С = 0

А = 25; В= 70; С = 5

и так далее.

Таким образом, ни одна коалиция не будет стабильной. Анализ таких игр немного сложнее анализа некооперативных игр. В этом случае надо угадать, каковы шансы на создание стабильных коалиций, в которых распределение платежей будет происходить таким образом, что никто из их членов не будет заинтересован в выходе из коалиции. В обычной жизни такой анализ приводит к появлению некоего судьи, который сделает возможной

оптимальную коалицию. Например, реальная ситуация, в которой необходим подобный метод, может возникнуть в Европарламенте, при распределении некоего бюджета между членами союза. Каждая страна имеет определенное количество депутатов с правом голоса.

Возможные коалиции между игроками являются фактором нестабильности, которым очень трудно управлять. В любом случае единственный способ применить здесь результаты для игр с двумя игроками и нулевой суммой — считать коалицию одним игроком. Если в некоем сценарии есть, например, четыре игрока А, В, С и D и создается коалиция между А, В и С, то эта группа игроков рассматривается как один игрок, соперничающий с D то тогда можно применить схему игры с двумя игроками и нулевой суммой.

Теорема о минимаксе и результаты теории игр имеют свои ограничения. Разумеется, они не являются безошибочным способом выиграть в любой игре, даже если речь идет о двух рациональных игроках. Эта теория предлагает прежде всего наилучший способ принятия решения. Рациональный игрок, играющий против нерационального, может создать техники игры, не имеющие ничего общего с теорией игр. Самое главное, что была создана математическая теория, способная моделировать сценарии и абстрагировать конкретные ситуации, чтобы рассмотреть их с точки зрения математической логики. В этом смысле теория игр имеет много общего с аксиоматизацией теории множеств и квантовой механикой — это и вызвало интерес фон Неймана и было основной причиной, по которой он занимался настолько отличными друг от друга областями. Он поднимал до уровня науки дисциплины, которым ранее этот уровень был несвойственен, как это случилось с экономической теорией.

ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

На первом этапе своего становления любая наука развивает методы наблюдения, которые позволяют точно описать предмет исследования. Следующим шагом является формулировка законов, как правило эмпирических, которые описывают поведение этого предмета. С этого момента теория должна быть в состоянии предположить, как будет развиваться система с течением времени. Научное описание такой сложной системы планет, как наша, утратило бы большую часть своего значения, если бы с его помощью нельзя было определить, например, дату, точное время и место солнечного затмения. Однако для того чтобы этот прогноз был научным результатом, а не плодом догадок, необходимо, чтобы теория была математизирована. Это значит, что ее законы должны описываться совокупностью уравнений. И когда говорится, что физика перестала быть натурфилософией и превратилась в науку, подразумевается, что благодаря новым методам исчисления законы ньютоновой механики были записаны в виде формул.

Галилей подробно описал свободное падение тел, но необходимо было дождаться появления исчисления бесконечно малых, что позволило свести законы механики к математическим формулам и узнать с высокой степенью точности, сколько времени требуется камню, чтобы достичь земли, и какова его скорость.

НАУКА И ЭКОНОМИКА

В начале XX века в некоторых естественных науках, таких как химия и биология, были внедрены методы математического исчисления. Но для общественных наук этот процесс оказался (и является таковым до сих пор) гораздо более сложным, так как в них всегда действует человеческий фактор, подразумевающий некоторую непредсказуемость. Тем не менее у экономики изначально было больше шансов, чем у какой-либо другой науки, ведь она, в конце концов, имела дело с числами. С другой стороны, это было одной из причин, по которым многие не соглашались с тем, чтобы такая деликатная материя, как человеческое поведение, рассматривалась отстраненно, с помощью чисел.

Прогнозирование всегда было одним из самых интересных аспектов экономической теории и одновременно самым слабым ее местом. В этом смысле экономика очень похожа на метеорологию, с той только разницей, что инструменты последней гораздо более совершенны. Метеорология может и не предсказать какое-то атмосферное явление, но когда оно произойдет, она будет в состоянии детально описать его причины, что в большинстве случаев неподвластно экономике, для которой многие кризисы являются совершенной неожиданностью.