Камень, ножницы, теорема. Фон Нейман. Теория игр

Коллектив авторов

Фасад Лютеранской гимназии в Будапеште, куда Нейман поступил в 1911 году.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ

Математические олимпиады, как говорится в их уставе, являются «состязаниями среди юных школьников, и главная их цель состоит в стимулировании занятий математикой и развитии молодых талантов в этой области». Они возникли на основе национальных математических соревнований Этвёша. В 1894 году барону Лорану Этвёшу (1848-1919) предложили стать министром образования, чтобы способствовать установлению гражданских прав и религиозной свободы.

В

честь этого события Венгерское общество математики и физики решило организовать ежегодные соревнования для выпускников средних школ. Современное название олимпиад было принято в 1958 году, когда по инициативе Румынии прошла первая Международная математическая олимпиада.

В ней приняли участие 7 стран, а сегодня она открыта для 80 стран всех пяти континентов. Фон Нейман, получивший национальную премию Этвёша, может считаться преолимпийским чемпионом.

Венгерский физик и политик Лоран Этвёш, в честь которого были названы первые соревнования по математике в Венгрии, учрежденные в 1894 году.

УЧЕБА В УНИВЕРСИТЕТЕ

Наверное, многие удивились бы, узнав, что один из самых ярких математиков XX века закончил химический факультет. Фон Нейман выбрал его не по зову сердца, а как компромисс между интересами отца и собственными желаниями. Еврейская семья в Европе вне зависимости от социальной или экономической ситуации должна была жить на чемоданах, готовой в любой момент к путешествию без обратного билета. Часто евреям в течение одного дня нужно было покинуть родину, бросив все нажитое, поэтому они прекрасно понимали, что главным богатством было не то, что можно положить в чемодан, а то, что находится в голове, — этого уж точно никто не может отнять. Каждый еврей должен был владеть хотя бы одним иностранным языком и иметь профессию, которая позволила бы заработать на жизнь. Конечно, многое зависело и от того, в какую страну пришлось бы переехать. Макс Нейман заранее подумал о том, чтобы обучить своих детей превосходному немецкому и дать им достаточные знания английского и французского, — эти страны в то время имели наибольший вес в мировой политике. Кроме того, Макс Нейман всегда хорошо относился к занятиям сына математикой. Его врожденная склонность к этой науке была так велика, что отец понимал: в конце концов Янош сделает ее своей профессией. Но в данном случае речь шла только об интеллектуальном развитии. Достойного экономического положения математика могла и не обеспечить. Макс Нейман попросил помощи у своего друга, физика и инженера Теодора фон Кармана (1881-1963), чтобы тот убедил Яноша выбрать более доходную профессию. Втроем они пришли к соглашению: Янош будет штудировать химическую инженерию, но при этом не оставит и математику. В последующие пять лет обучения в университете Янош занимался в таком интенсивном ритме, что выдержать его мог только человек с необыкновенными способностями.

Университетское образование в Венгрии было доступно далеко не всем и тем более ограничено для евреев, но список достижений фон Неймана открывал ему двери в любое европейское учебное заведение. В 1921 году он поступил на математический факультет Будапештского университета. Юноше нужен был только диплом: он не посетил ни одного занятия и приходил только на экзамены, на которых всегда получал самые высокие оценки. Одновременно с этим Янош два года, с 1921 по 1923 год, занимался химической инженерией в Берлинском университете, а последующие два, с 1923 по 1925 год, — изучал химию в Федеральном технологическом институте в Цюрихе, где и получил диплом. Университетское образование Неймана завершилось защитой докторской диссертации по математике (по теории множеств) в Будапештском университете в 1926 году. К 20 годам он сформулировал определение ординальных чисел, которое используется по сей день.

С этого момента карьера фон Неймана очень быстро пошла в гору, и вскоре он стал одним из самых известных математиков в мире. Янош работал профессором в Берлинском университете с 1926 по 1929 год и в Гамбургском — с 1929 по 1930 год.

Важной датой в его биографии стал 1927 год: фон Нейман получил Рокфеллеровскую стипендию для продолжения обучения в Гёттингенском университете, главном математическом центре Европы. Там он познакомился с Давидом Гильбертом, одним из выдающихся математиков XX века, который оказал огромное влияние на его научную деятельность.

ГЛАВА 2

Германия: чистая математика

Самые важные исследования, проведенные фон Нейманом в Гёттингене под руководством Гильберта, были посвящены вопросам аксиоматизации. Чтобы лучше понять значение его достижений, нужно понимать, какую роль играли аксиомы на протяжении всей истории математики и какой глубокий кризис в аксиоматике наблюдался в начале XX века. Этот кризис поставил под вопрос сами основания математики.

В течение последней четверти XIX века главным центром математики в Европе был Берлинский университет, однако подход к науке в этом учреждении отличался довольно сильным пуризмом. Так, задачи решались прежде всего геометрическими методами. Применение элементов анализа Декарта и алгебры считалось отходом от математического метода, опирающегося на классическую геометрию.

Для пуристов точка, прямая или плоскость были интуитивно понятными объектами, которые можно представить и которые позволяли сформулировать и доказать теоремы исходя из законов логики и аксиом, установленных древнегреческим математиком и геометром Евклидом (ок. 325 — ок. 265 до н.э.). С аналитической же точки зрения, прямая считалась совокупностью точек, определяемых декартовыми координатами, и правила игры в этом случае диктовала абстрактная алгебра. Уже тогда математический анализ был развит достаточно, чтобы оперировать прямыми, плоскостями и кривыми на очень высоком уровне, не нуждаясь в том, чтобы «видеть» эти операции.

Университет немецкого Геттингена стал флагманом этого нового подхода.

ГЁТТИНГЕН

Гёттингенский университет был основан в 1734 году Георгом II, курфюрстом Ганновера. В 1866 году этот город был присоединен к Пруссии, что повлекло за собой важные изменения: прусское правительство считало, что университет имел ключевое значение для развития страны. В том же году ректором был назначен немецкий математик Феликс Клейн (1849-1925): он сохранил верность этому учебному заведению, отклоняя другие предложения работы, среди которых была и кафедра в Берлине. Клейн проработал здесь до самого выхода на пенсию в 1920 году, но продолжал читать лекции до 1924 года. Он разработал проект, известный как Эрлангенская программа, в рамках которой хотел установить новые связи между различными областями математики и приблизить ее к физике.

ФЕЛИКС КЛЕЙН

Немецкий математик Феликс Клейн родился 25 апреля 1849 года в Дюссельдорфе, в семье важного прусского чиновника. Начальное образование ему дала мать. Затем Феликс два года отучился в частной начальной школе и в 1857 году поступил в Дюссельдорфское училище, где провел восемь лет и получил полное среднее образование. В16 лет Клейн поступил в Боннский университет. Несмотря на то что его очень интересовала математика, он большую часть времени посвящал занятиям ботаникой. Через год после поступления в университет начал посещать семинары по физике, которые проходили под руководством Юлиуса Плюккера, физика и математика, в то время работавшего над своей книгой Neue Geometrie des Raumes («Новая геометрия пространства»). Клейн так углубился в изучение этой темы, что после смерти Плюккера взял на себя составление второй части книги.

Индивидуальная образовательная программа

Отдавая себе отчет в том, что ему не хватает знаний в некоторых областях математики, особенно в интегральном исчислении, в 1869 году Клейн переехал в Гёттинген и в течение года посещал занятия Альфреда Клебша. Клейн никогда не придерживался стандартной академической программы и сам составлял учебный план. Во время учебы в Берлине в 1870 году он посещал не занятия по математике, а кофейни — правда, в обществе двух выдающихся математиков — австрийца Отто Штольца (1842-1905), который уже заведовал математической кафедрой и приехал в Берлин, чтобы расширить свои познания, и норвежца Софуса Ли (1842-1899). Именно Ли открыл Клейну важность теории групп, разработанной Эваристом Галуа (1811-1832) и впоследствии оказавшей большое влияние на научную деятельность Клейна. По прошению Клебша Клейн получил звание ординарного профессора в Эрлангенском университете. Именно там, комментируя созданный им учебный план, Клейн впервые изложил свою знаменитую Эрлангенскую программу. За годы педагогической деятельности он преподавал математику в Мюнхене (1875-1880), Лейпциге (1880-1886) и Гёттингене (1886-1913), где создал институт прикладной математики. В 1882 году у Клейна на фоне серьезного психического расстройства произошел нервный срыв, и он прекратил заниматься наукой. Ученый умер в Гёттингене 22 июня 1925 года.