Камень, ножницы, теорема. Фон Нейман. Теория игр

Коллектив авторов

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

Теория множеств имеет большое значение для математики: являясь, в сущности, очень простой, она позволяет дать определения таким понятиям, как упорядоченная пара, соотношение, функция, разбиение множества, порядок, натуральные числа, рациональные, вещественные, комплексные числа, структура группы, кольцо, тело, векторное пространство и так далее,— список можно продолжать очень долго. Само же понятие множества — одно из основных в математике. Сложно найти хотя бы одну ее область, которая не была бы основана на нем, явно или не очень явно. Можно даже утверждать, что все математическое здание стоит на краеугольном камне теории множеств, которой пользуются математики,

логики и, в меньшей степени, те, кто имеет дело с программированием.

Первая сложность в этой теории — само определение множества, но если ее преодолеть, все остальное работает прекрасно. Сформулировать же это определение, не используя само слово «множество» или его синонимы (совокупность, общность, последовательность и другие), очень трудно. Одна из лучших формулировок, в которой нет никаких синонимов (по крайней мере на первый взгляд), была предложена британским ученым Бертраном Расселом (1872-1970):

«Множество суть одновременное рассмотрение различных элементов».

Это очень интересное определение, так как в нем множество представляется как направление мысли, и это означает, что речь идет действительно о базовом понятии. Представим, что мы пришли на прием, где никого не знаем, и начинаем скучать. Чтобы убить время, мы посмотрим на обувь, которую носят гости, и попробуем ее классифицировать по очень простому принципу «нравится — не нравится». Тем самым мы установим некое соотношение в точно определенном множестве: вся обувь на приеме. Перемена направления мысли состоит именно в том, чтобы рассмотреть одновременно ряд объектов, ограничить наше внимание только ими, сконцентрироваться только на них. Именно так мы и получили «множество обуви».

Существует два особых и теоретически неизбежных множества — пустое и универсальное. Пустое множество обозначается знаком 0 и определяется как множество, не имеющее ни одного элемента. С философской точки зрения это очень противоречивое понятие, и в свое время у него было много противников. Ведь раз множество не содержит ни одного элемента, значит оно состоит из ничего, а поскольку «ничто» не существует, то не существует и пустого множества. Универсальное множество, напротив, имеет слишком много элементов, то есть оно просто-напросто слишком большое. В большинстве научных работ его обозначают буквой U. Определение универсального множества не такое четкое, как пустого. Считается, что оно включает в себя все множества, которые мы только можем рассмотреть. Поскольку в пустом множестве ничего нет, в U возникает соблазн включить все. Это означало бы, что U — множество всех возможных множеств, что не совсем правильно — не с метафизической точки зрения, на которую математики не обратили бы внимания, а с точки зрения внутренней логики самого понятия множества. Поэтому для универсального множества ставят условные ограничения. В приведенном выше примере, когда скучающий гость рассматривает обувь всех приглашенных на прием, мы можем считать универсальным множеством U «всю обувь, которая есть на приеме». Но для нас также удобно расширить это множество до всей обуви, произведенной в стране, если, например, мы рассматриваем определенные марки. Или мы легко могли бы принять за универсальное множество «всю обувь мира». Главное — множество должно быть достаточно большим, чтобы нам было удобно оперировать членами внутри него. Разумеется, если мы будем следовать такому алгоритму, то в наших универсальных множествах в итоге всегда будет бесконечное количество элементов. Неудивительно, что история теории множеств тесно связана с понятием бесконечности, в частности с понятием актуальной бесконечности и необходимостью создавать математические объекты с бесконечным количеством элементов.

Несмотря на то что первые понятия множеств были выведены еще Бернардом Больцано (1781-1848), создателем этой теории является Георг Кантор (1845-1918). Можно сказать, что она родилась в 1874 году в работе Кантора, опубликованной в престижном «Журнале Крелля» под названием "Uber eine Eigenschaft des Ibegriffes aller reellen algebraischen Zahlen («Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел»).

Впервые аксиомы для теории множеств вывел немецкий математик и логик Готлоб Фреге (1848-1925), который хотел придать ей логическую структуру. Эта серия аксиом должна была не только обеспечить правильность операций с множествами, но и неким образом, явно или нет, выявить само определение множества. Так или иначе, эта система аксиом просуществовала очень недолго, так как в теории был открыт коварный парадокс.

ПАРАДОКС РАССЕЛА

В 1903 году Бертран Рассел доказал, что в теории множеств Кантора таится противоречие, и поставил под вопрос само определение множества. Кантор понял это, когда столкнулся с тем, что множество всех множеств не может существовать, так как множество никогда не может являться частью самого себя. Предположим, что существует два типа множеств, — те, что принадлежат сами себе, и те, которые не принадлежат. Назовем, например, множество всех существующих столов М. Пусть m — произвольный стол. Следовательно, m принадлежит М:

m М

Разумеется, множество всех столов не является столом. Следовательно, мы можем утверждать, что

М+ М.

(здесь + заменяет отсутствующий символ "перечеркнутое ")

Таким образом, это пример множества, не принадлежащего самому себе. Теперь рассмотрим множество T, состоящее из всех множеств, которые содержат более трех членов. Если мы возьмем множество р, образованное парой одинаковых элементов, то получим, что

р+ Т.

У множества T, разумеется, больше трех элементов — их бесконечное количество, поэтому

T+ T.

Следовательно, это пример множества, принадлежащего самому себе.

Тогда Рассел вводит следующее множество R:

«R состоит из множеств, которые не являются элементами самих себя».

Исходя из предыдущих примеров, мы имеем:

M+ R и T+ R.

В этом случае вопрос Рассела звучит так:

R+ R?

Если ответ да, то R не может быть элементом R, так как содержит само себя и, следовательно, не принадлежит само себе. Если же ответ нет, то множество R не принадлежит само себе. Таким образом, в любом случае мы получаем элемент, который одновременно и принадлежит, и не принадлежит некоему множеству, что является парадоксом, или, выражаясь языком логики, противоречием. Проблема, лежащая в его основе, заключалась в том, что в рамках теории Кантора ничто не запрещало образовывать такие множества, как множества Рассела. Следовательно, надо было создать такую аксиоматику, которая не оставила бы места множествам такого типа.

МЕТОД ФОН НЕЙМАНА

Немецкий логик и математик Эрнст Цермело (1871-1953) сформулировал семь аксиом, с помощью которых не только хотел придать логическую основательность теории множеств, но и избежать таких спорных ситуаций, как в парадоксе Рассела. Для этого Цермело дал определение основным понятиям и их отношениям. За аксиому принималось существование самого множества, пустого множества, объединения и пересечения множеств, а также части множества. Таким образом гарантировалось точное существование множеств, на которых можно было основываться и которые позволяли доказать фундаментальные для анализа теоремы. В то же время из игры исключались ненадежные множества, которые могли привести к парадоксам.

Бертран Рассел, один из основателей аналитической философии. Портрет маслом кисти Роджера Фрая, 1923 год.

В Геттингенском университете фон Нейман (фотография 1940-х годов) познакомился с Давидом Гильбертом, чьи труды оказали на него большое влияние.

Медная гравюра, на которой изображено здание Гёттингенского университета и библиотеки. Около 1815 года.