Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
1 Подробно об истории возникновения этих идей Фейнман рассказывает в своей Нобелевской лекции [УФН, 91, вып. 1, 29 (1967)].— Прим. перев
Возник вопрос: что подразумевал Дирак под словом «аналогично»? Фейнман решил выяснить, не означает ли оно «равняется». Краткое исследование показало, что эту экспоненту действительно можно использовать именно таким образом.
Последующий анализ привёл к применению экспоненты от S (в этой книге S — интеграл по времени от лагранжиана — будет называться действием) в качестве функции преобразования для конечных интервалов времени. Однако при использовании такой формулы необходимо для каждого момента времени вычислять интегралы по всем пространственным переменным.
Когда готовилась статья, излагающая эту идею [1], возникло представление об «интеграле по всем траекториям» как методе описания и как способе
Из ранних применений метода интегрирования по траекториям к не поддававшейся квантовой задаче наиболее впечатляющим было его приложение к проблеме лэмбовского сдвига вскоре после его открытия. В теории при объяснении этого сдвига без привлечения явно искусственных приёмов устранения расходимостей возникли трудности. Интегрирование по траекториям оказалось одним из вполне логичных и внутренне согласованных способов обращения с этими трудно преодолимыми бесконечностями.
На протяжении нескольких лет изложение квантовой механики с использованием интеграла по траекториям применялось в качестве лекционного курса в Калифорнийском технологическом институте. В течение этого времени А. Хибс, студент Фейнмана, подготовлял конспекты, пригодные для превращения курса лекций, посвящённого такому подходу к квантовой механике, в книгу на эту тему.
В последующие годы, пока писалась книга, и в лекции д-ра Фейнмана и в книгу были включены новые разделы, например статистическая механика и вариационный принцип. За это же время изложение квантовой механики в лекциях Фейнмана до некоторой степени отклонилось от первоначального подхода. Выяснилось, что для решения более общих задач квантовой механики операторный метод оказывается и глубже, и намного мощнее. Тем не менее интеграл по траекториям обеспечивает наглядность восприятия квантовомеханических ситуаций, что чрезвычайно ценно при выработке интуитивного понимания квантовых законов. Благодаря этому в тех разделах квантовой механики, где данный подход оказывается особенно полезным (а большинство из них представлено в этой книге), студенту-физику обеспечено превосходное понимание основных квантовых принципов, что позволит ему в будущем намного эффективнее решать задачи из более широких областей теоретической физики.
Р. Фейнман
А. Хибс
Глава 1
ОСНОВНЫЕ ИДЕИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
§ 1. Вероятность в квантовой механике 2)
2) Большая часть материала этой главы первоначально представляла собой лекцию д-ра Фейнмана и была опубликована под названием «Концепция вероятности в квантовой механике» в [26].
В первые десятилетия нашего века экспериментальная физика накопила внушительное количество странных результатов, не укладывавшихся в прежние (классические) представления. Попытки теоретически объяснить новые явления привели сначала к замешательству, поскольку оказалось, что свет и электроны иногда ведут себя как волны, а иногда — как частицы. Кажущаяся несовместимость этих свойств была полностью устранена в 1926—1927 гг. в теории, названной квантовой механикой. Новая теория утверждала, что существуют эксперименты, точный результат которых в принципе не может быть предсказан, и что в этих случаях следует удовлетвориться вычислением вероятностей различных возможных исходов. Но гораздо более важным оказалось открытие того, что сложение вероятностей в природе происходит не по законам классической теории Лапласа. Квантовомеханические законы физического мира становятся очень близкими к законам Лапласа лишь по мере того, как увеличивается размер объектов, участвующих в эксперименте. Поэтому обычная теория вероятности вполне подходит для анализа поведения колеса рулетки, но не для рассмотрения отдельного электрона или фотона.
Мысленный эксперимент. Само понятие вероятности в квантовой механике не изменяется. Когда мы говорим, что вероятность определённого исхода опыта есть p, то вкладываем в это обычный смысл: при многократном повторении эксперимента ожидается, что относительное число опытов с интересующим нас исходом составит приблизительно p. Мы не будем вникать в подробности этого определения; никаких изменений понятия вероятности, принятого в классической статистике, нам не потребуется.
Зато придётся радикально изменить способ вычисления вероятностей. Последствия этого изменения оказываются наиболее значительными, когда мы имеем дело с объектами атомных размеров; поэтому будем иллюстрировать законы квантовой механики описанием результатов мысленных экспериментов с отдельным электроном.
Фиг. 1.1 поясняет наш воображаемый опыт. В точке A расположен источник электронов S. Все электроны вылетают из этого источника с одной и той же энергией в направлении экрана B. Этот экран имеет отверстия 1 и 2, через которые могут проходить электроны. Наконец, за экраном B в плоскости C расположен детектор электронов, который можно помещать на различных расстояниях x от центра экрана.
Фиг. 1.1. Схема эксперимента.
Испускаемые в точке A электроны летят в детектор, расположенный на экране C. Между A и C помещён экран B с двумя отверстиями 1 и 2. Детектор регистрирует каждый попадающий в него электрон; измеряется относительное число электронов, которые попадают в детектор, когда тот расположен на расстоянии x от экрана C, и строится кривая зависимости числа отсчётов от x, представленная на фиг. 1.2.
Если детектор очень чувствителен (например, счётчик Гейгера), то мы обнаружим, что достигающий точки x ток не непрерывен, а является как бы дождём из отдельных частиц. При малой интенсивности источника S детектор зарегистрирует импульсы, свидетельствующие о попадании отдельных частиц, причём эти импульсы будут разделены промежутками времени, в течение которых в детектор ничего не попадает. Именно поэтому мы и считаем электроны частицами. Если бы мы расположили детекторы сразу по всему экрану, то в случае очень слабого источника S сначала сработал бы только один детектор, потом через небольшой промежуток времени появление электрона зарегистрировал бы другой детектор и т.д. При этом ни один детектор не может сработать «наполовину»: либо электрон попадает в него целиком, либо вообще ничего не происходит. Никогда не срабатывали бы и два детектора одновременно (за исключением случаев совпадения, когда за время, меньшее разрешающей способности детекторов, источник испускает два электрона — событие, вероятность которого можно уменьшить дальнейшим ослаблением интенсивности источника). Другими словами, детектор на фиг. 1.1 регистрирует некоторый одиночный корпускулярный объект, пролетающий от источника S до точки x через отверстие в экране B.
Этот опыт никогда не был поставлен именно таким образом. Некоторые эксперименты, непосредственно иллюстрирующие наши дальнейшие выводы, действительно производились, но они, как правило, оказываются значительно более сложными. Из соображений наглядности мы предпочитаем отбирать эксперименты, наиболее простые в принципиальном отношении, и не обращаем внимания на реальные трудности их выполнения.
Между прочим, в подобном опыте вместо электронов можно использовать свет; это ничего бы не изменило. Источником S мог быть источник монохроматического света, а чувствительным детектором — фотоэлемент (или, ещё лучше, фотоумножитель), который регистрировал бы импульсы, возникающие в нем при попадании одного фотона.
Величина, измеряемая нами при различных положениях детектора x,— это число импульсов за 1 сек. Другими словами, мы будем экспериментально определять (как функцию x) вероятность P того, что вылетевший из источника S электрон попадёт в точку x.
Фиг. 1.2. Результаты эксперимента.
Вероятность попадания электронов в точку я представлена как функция положения детектора x. Кривая a — результат эксперимента, изображённого на фиг. 1.1. Случаю, когда открыто только отверстие 1 и электроны могут пролетать только через это отверстие, соответствует кривая b; открытому отверстию 2 соответствует кривая c. Если предполагать, что каждый электрон проходит только сквозь одно отверстие из двух, то в случае, когда открыты оба отверстия, мы должны были бы получить кривую d=b+с. Это существенно отличается от кривой a, которую мы получаем в действительности.