Квантовая механика и интегралы по траекториям

Фейнман Ричард Филлипс

Понятие тождественности частиц в квантовой механике намного полнее и определённее, чем в классической. С точки зрения классической механики две частицы, которые считаются тождественными, могли бы быть лишь приблизительно одинаковы или настолько одинаковы, чтобы на практике с помощью современной техники эксперимента их нельзя было различить. При этом сохраняется возможность, что техника будущего установит такое различие. Однако в квантовой механике положение совершенно иное: мы можем указать прямой критерий, устанавливающий, являются ли частицы совершенно неразличимыми или они различимы.

Если в эксперименте, который схематически изображён на фиг. 1.8, частицы, вылетающие из точек A и B, одинаковы лишь приблизительно, то усовершенствование техники эксперимента дало бы нам возможность (путём тщательного изучения попадающих в точку x частиц) определить, прилетают ли они из точки A или из точки B. В этом случае альтернативы, соответствующие двум исходным положениям, должны быть несовместимы и, следовательно, их амплитуды не будут интерферировать. Важно, что подобный акт обследования имел бы место уже после того, как произошло рассеяние. Таким образом, наблюдение не могло повлиять на процесс рассеяния, а это в свою очередь означает, что не следует ожидать интерференции между амплитудами, описывающими эти альтернативы (вылетает ли частица, попадающая в точку 1, из A или из B). В этом случае, согласно принципу неопределённости, мы должны заключить, что нет способа (даже в принципе) различить эти возможности; другими словами, если частица попадает в точку 1, то с помощью любого испытания (каково бы оно ни было) ни сейчас, ни в будущем совершенно невозможно определить, вылетела частица из точки A или из точки B. В этом, более строгом, смысле все электроны (равно как все протоны и другие частицы) тождественны.

Рассмотрим теперь рассеяние нейтронов на кристалле. Когда на атомах кристалла рассеиваются нейтроны с длиной волны, несколько меньшей, чем расстояние между атомами, мы получаем ярко выраженные интерференционные эффекты. Подобно рентгеновским лучам, нейтроны вылетают из кристалла только в некоторых дискретных направлениях, определяемых брэгговским законом отражения. В этом примере интерферирующими альтернативами будут взаимоисключающие возможности рассеяния отдельного нейтрона на том или ином атоме (амплитуда рассеяния нейтрона на каком-либо атоме настолько мала, что нет надобности рассматривать альтернативы, соответствующие рассеянию более чем на одном атоме). Волны амплитуды (описывающей движение нейтрона), которые распространяются от этих атомов, усиливают друг друга лишь в некоторых определённых направлениях.

Существует одно интересное обстоятельство, которое усложняет эту явно простую картину. Подобно электронам нейтроны имеют спин, и у них можно выделить два состояния: состояние со спином «вверх» и состояние со спином «вниз». Предположим, что атомы рассеивающего вещества обладают аналогичным спиновым свойством, как, например, углерод С¹³. В этом случае эксперимент покажет два явно различных типа рассеяния. Оказывается, что, кроме рассеяния в дискретных направлениях, которое описано выше, имеется и диффузное рассеяние по всем направлениям. Почему оно возникает?

Ключ к пониманию этих двух типов рассеяния мы получим, заметив следующее. Предположим, что спины всех нейтронов, участвующих в эксперименте, до рассеяния направлены вверх. Если анализировать направления спинов вылетающих нейтронов, то обнаружится, что некоторые будут направлены вверх, а некоторые — вниз; нейтроны, спин которых по-прежнему направлен вверх, рассеиваются только под дискретными углами Брэгга, в то время как нейтроны, спин которых перевернулся, рассеиваются диффузно по всем направлениям.

Если нейтрон изменил направление спина, то закон сохранения углового момента потребует, чтобы ядро, на котором произошло рассеяние, также изменило направление своего спина на обратное. Следовательно, в принципе можно было бы выявить то ядро, на котором рассеялся данный нейтрон. Мы могли бы для этого запомнить перед экспериментом спиновое состояние всех рассеивающих ядер в кристалле. Затем после того, как рассеяние произошло, мы могли бы исследовать кристалл вновь и посмотреть, у каких ядер спин переменился на обратный. Если ни у одного ядра в кристалле спин не претерпел такого изменения, то ни у одного нейтрона направление спина также не изменилось, и мы не может сказать, на каком ядре в действительности произошло рассеяние нейтрона. В этом случае альтернативы интерферируют, и в результате мы имеем брэгговский закон рассеяния.

Если же при этом обнаружится, что у какого-то ядра направление спина изменилось, то мы знаем, что на этом именно ядре и произошло рассеяние; интерференции альтернатив нет. Движение рассеянного нейтрона описывается сферическими волнами, которые расходятся от рассеивающего ядра, и в описание входят только эти волны. В таком случае вылет нейтрона равновероятен в любом направлении.

Исследовать все атомные ядра в кристалле, чтобы найти одно, у которого изменилось спиновое состояние,— это подобно поискам иголки в стоге сена; но природу не интересуют практические трудности экспериментатора. Существенно то, что в принципе возможно, не возмущая движение рассеянного нейтрона, определить, на каком именно ядре произошло рассеяние. Наличие такой возможности означает, что даже если мы и не выявляем это ядро, тем не менее имеем дело с несовместимыми (и, следовательно, не интерферирующими) альтернативами.

С другой стороны, возникновение интерференции между альтернативами, если спиновые состояния нейтронов не изменились, означает, что даже в принципе невозможно когда-либо обнаружить, на каком отдельном ядре кристалла произошло рассеяние — невозможно, во всяком случае, без вмешательства в опыт в момент рассеяния или до него.

§ 4. Краткий обзор понятий, связанных с вероятностью

Альтернативы и принцип неопределённости. В предыдущем изложении мы хотели разъяснить смысл амплитуды вероятности, её значение в квантовой механике и рассмотреть правила обращения с вероятностями. При этом выяснилось, что существует некоторая величина, называемая амплитудой вероятности, сопоставляемая каждому возможному в природе способу осуществления события. Например, электрон, летящий от источника S в детектор, расположенный в точке x (см. фиг. 1.1), имеет одну амплитуду вероятности, когда он движется через отверстие 1 экрана B, и другую амплитуду, если он проходит через отверстие 2. Событию в целом можно затем сопоставить амплитуду вероятности, получаемую путём сложения амплитуд для каждого альтернативного способа движения. Так, приведённая в равенстве (1.2) полная амплитуда вероятности попадания в точку x есть

=

₁

+

₂

.

(1.14)

Квадрат модуля полной амплитуды мы интерпретируем как вероятность того, что соответствующее событие произойдёт. Например, вероятность попадания электрона в детектор

P=|

₁

+

₂

|^2.

(1.15)

Если мы прерываем развитие процесса ещё до его завершения, наблюдая состояние частиц в ходе события, то тем самым изменяем вид выражения для полной амплитуды. Так, если установлено, что система находится в некотором определённом состоянии, то тем самым мы исключаем возможность того, чтобы она оказалась в каком-либо другом состоянии, и при вычислении полной вероятности амплитуды, связанные с такими исключёнными состояниями, уже нельзя рассматривать в качестве альтернатив. Например, если с помощью какого-нибудь устройства определить, что электрон проходит именно через отверстие 1, то амплитуда его попадания в детектор будет точно равна ₁. Совершенно неважно, будем ли мы (в тот момент, когда работает измеряющее устройство) фактически наблюдать и записывать результат наблюдения или же нет. Очевидно, что при желании его можно было бы узнать в любое время. Уже одного вмешательства измеряющего устройства достаточно, чтобы изменить систему и соответствующую амплитуду полной вероятности.

Это последнее обстоятельство и составляет основу принципа неопределённости Гейзенберга, который утверждает, что существует естественный предел точности любого эксперимента и любого усовершенствования измерений.

Структура амплитуды вероятности. Амплитуда вероятности всякого события представляет собой сумму амплитуд различных альтернативных возможностей осуществления этого события. Это позволяет изучать её многими различными способами в зависимости от того, на какие классы можно подразделить альтернативы. Наиболее детальная картина получается при условии, что частица при переходе из состояния A в состояние B за данный промежуток времени совершает вполне определённое движение (т.е. определённым образом изменяет свои координаты в зависимости от времени), описывая конкретную траекторию в пространстве и времени. С каждым таким возможным движением мы будем связывать одну амплитуду; полная же амплитуда вероятности будет суммой вкладов от всех траекторий.