Квантовая механика и интегралы по траекториям

Фейнман Ричард Филлипс

§ 3. Классический предел

Прежде чем перейти к более строгому рассмотрению, сравним наше квантовое правило с классическим. С первого взгляда остаётся совершенно неясным, каким образом в классическом приближении наиболее важной окажется всего лишь одна траектория, тогда как из выражения (2.15) следует, что все траектории вносят в амплитуду одинаковый вклад, хотя и с различными фазами. Однако классическое приближение соответствует случаю, в котором размеры, массы, интервалы времени и другие параметры системы настолько велики, что действие S во много раз превосходит постоянную h= 1,05·10^{– 27} эрг·сек. В этом случае фаза S/h каждого парциального вклада представляет собой чрезвычайно большой угол. Действительная (или мнимая) часть функции равна косинусу (или синусу) этого угла и в равной степени может оказаться как положительной, так и отрицательной. Если теперь, как показано на фиг. 2.1, мы сдвинем траекторию на малую величину x (малую в смысле классических масштабов), то изменение действия S также будет небольшим в классическом смысле, однако отнюдь не малым при сопоставлении с величиной h. Эти небольшие изменения траектории будут, вообще говоря, приводить к огромным изменениям фазы, так что её косинус и синус совершают очень быстрые и частые колебания между положительными и отрицательными значениями. Таким образом, если одна траектория даёт положительный вклад, то другая, бесконечно близкая к ней (в классическом смысле), даёт такой же отрицательный вклад, так что в целом не возникает никакого вклада.

Фиг.2.1. Классическая траектория 1 [x=x(t)].

Это такая траектория, для которой интеграл действия S принимает минимальное значение. Если эта траектория изменяется на величину x(t) (траектория 2), то в первом приближении по x интеграл не претерпевает никаких изменений. Это и определяет уравнение движения.

В квантовой механике амплитуда вероятности перехода из точки a в точку b равна сумме амплитуд, соответствующих всем возможным траекториям. Амплитуда вероятности для заданной траектории, т.е. e^iS/h, имеет фазу, пропорциональную действию. Если действие очень велико по сравнению с постоянной Планка h то для близлежащих траекторий, таких, как 3 и 4, оно лишь незначительно отличается по своей величине, однако вследствие малости постоянной h различие в фазах в этих случаях будет очень большим. Вклады от таких траекторий взаимно уничтожаются. Только в непосредственной близости к классической траектории x(t), где варьирование траекторий лишь незначительно изменяет действие S, близлежащие траектории, такие, как 1 и 2, дают вклады с одинаковыми фазами, которые вследствие интерференции усиливают друг друга. Вот почему приближение классической физики, т.е. необходимость рассмотрения только одной траектории x(t), справедливо, когда действие S очень велико по сравнению с постоянной h.

Поэтому данную траекторию можно фактически не учитывать, если соседние с ней имеют различное действие, поскольку их вклады взаимно уничтожаются. Однако у некоторой траектории x, для которой действие экстремально, небольшие изменения x (во всяком случае, в первом приближении) не меняют величины S. Все вклады от траекторий, находящихся в этой области, близки по фазе, которая равна здесь S_кл/h, и взаимно не уничтожаются. Следовательно, существенный вклад мы можем получить лишь в окрестности траектории x и в классическом приближении должны рассматривать только эту траекторию как единственно важную. Именно так классические законы движения получаются из квантовых законов.

Можно здесь же отметить, что траектории, которые не совпадают с x, дают вклад лишь в той области, где действие S отличается от S_кл/h на величину порядка h. Классическая траектория в этой небольшой области остаётся неопределённой, что и ограничивает точность, с которой она выделяется.

Рассмотрим теперь зависимость фазы от положения конечной точки (x_b,t_b). Если мы немного сместим эту точку, то фаза изменится очень сильно, что приведёт к быстрым изменениям ядра K(b,a). Будем под «гладкой функцией» понимать функцию вида S_кл/h, которая заметно меняется лишь при значительных изменениях аргумента. В этом смысле амплитуде K(a,b) весьма далеко до гладкости. Однако приведённые соображения показывают, что в классическом приближении она имеет вид

K(b,a)=«гладкая функция» • e

^(i/h)S_кл

.

(2.16)

Все эти нестрогие рассуждения допустимы лишь в тех случаях, для которых мы можем ожидать применимости классической физики (S >> h). Однако на атомном уровне действие S может быть сравнимо с величиной h, и тогда в выражении (2.14) должны учитываться все траектории. В этом случае не существует какой-либо траектории, имеющей преимущественное значение, и, конечно, выражение (2.16) не обязательно является хорошим приближением. Для того чтобы рассматривать подобные случаи, необходимо найти способ вычисления сумм, аналогичных выражению (2.14).

§ 4. Сумма по траекториям

Аналогия с интегралом Римана. Хотя качественно идея суммирования вкладов от всех траекторий вполне ясна, необходимо все же дать математически более строгое определение этой суммы. Множество траекторий содержит бесконечное количество элементов и не ясно, какая мера может быть сопоставлена пространству траекторий. Математическое определение такой меры и является целью этого параграфа. Как окажется далее, это определение довольно неудобно для конкретных вычислений. В последующих главах будут описаны другие, более эффективные способы вычисления суммы по траекториям. Что касается данной главы, то можно надеяться, что математические трудности, или скорее отсутствие изящества в изложении, не отвлекут читателя от физического содержания излагаемых понятий.

Начнём с рассмотрения обычного интеграла Римана. Допустим (очень грубо), что площадь A под кривой равна сумме всех её ординат; лучше было бы сказать, что она пропорциональна этой сумме. Чтобы уточнить приведённое утверждение, поступим следующим образом: выберем какое-нибудь подмножество ординат (например, ординаты в точках x_i разделённых равными отрезками длины h). Складывая эти ординаты, получаем

A~

f(x

_i

),

i

(2.17)

где суммирование проводится по конечному числу точек x_i как показано на фиг. 2.2.

Фиг. 2.2. Определение интеграла.

При построении обычного риманова интеграла набор ординат проводится от оси абсцисс до рассматриваемой кривой. Расстояние между ординатами равно h. Интеграл (площадь, ограниченная кривой и осью абсцисс) аппроксимируется произведением величины h на сумму ординат. Это приближённое выражение стремится к точному значению при h->0.

Аналогичное определение может быть использовано для интегралов по траекториям. Мера, устремляемая к нулю в предельном процессе, равна интервалу времени , разделяющему дискретные точки на траекториях.

Следующий шаг состоит в определении площади A как предела этой суммы, когда подмножество точек x_i (а следовательно, и выбранное подмножество ординат) становится более плотным или, точнее, когда подмножество становится более полным представлением плотного множества, поскольку конечное множество никогда не является какой-либо измеримой частью бесконечного континуума ¹). Мы можем перейти к пределу обычным способом, непрерывно уменьшая величину h. Однако, поступая таким образом, мы получили бы различные суммы для разных значений h, и в этом процессе никакого предела не существовало бы. Чтобы получить искомый предел, необходимо выбрать некоторый нормирующий множитель, который должен зависеть от h. Для интеграла Римана, очевидно, таким множителем является сама величина h. В этом случае предел существует, и мы можем написать выражение

¹) Это утверждение следует понимать в том смысле, что конечное множество всегда имеет меру нуль независимо от того, какую меру имеет содержащее его бесконечное, континуальное множество.— Прим. ред.

A=

lim

h->0

h

i

f(x

_i

)

(2.18)

Построение суммы. При определении суммы по траекториям мы можем поступить аналогичным образом. Во-первых, выберем некоторое подмножество траекторий. Чтобы сделать это, разобьём область изменения независимой переменной (времени) на интервалы длиной . Это даст нам в интервале от t_a до t_b набор моментов t_i (разделённых -отрезками), каждому из которых поставили в соответствие точку x_i. Соединяя все полученные точки отрезками прямых линий, мы получаем траекторию. Сумму по всем найденным таким образом траекториям можно определить, вычислив кратный интеграл по всем значениям x_i (i=1,2,… N-1):