Квантовая механика и интегралы по траекториям

Фейнман Ричард Филлипс

=

h

p

(3.10)

Это соотношение можно получить и в более общем случае. Предположим, что у нас есть некоторый прибор больших размеров, например магнитный анализатор, который собирает частицы с данным импульсом в заданную точку. Покажем, что если этот прибор достаточно велик и при работе с ним классическая физика является хорошим приближением, то амплитуда вероятности попадания частицы в наперёд заданную точку в пространстве осциллирует с длиной волны, равной h/p. Как мы уже видели, ядро в этом случае можно аппроксимировать выражением

K~exp

i

h

S

_кл

(b,a)

.

(3.11)

Вариация положения конечной точки x_b вызывает изменение классического действия. Если это действие велико по сравнению с h (квазиклассическое приближение), то при изменении координаты x_b ядро K будет очень быстро осциллировать. Изменение фазы, приходящееся на единицу смещения конечной точки, составляет

k=

1

h

S_кл

x_b

.

(3.12)

Но S_кл/x_b есть не что иное, как классический импульс частицы в точке x_b (см. задачу 2.4) и, следовательно, p=hk. Эта величина k представляет собой изменение фазы на единицу длины волны и называется волновым числом; ею очень удобно пользоваться. Поскольку на расстоянии, равном длине волны, фаза изменяется на 2, то k=2/. Формула (3.12) представляет собой соотношение. де Бройля, связывающее импульс частицы с его волновым числом.

Фиг.3.2. Амплитуда вероятности найти частицу в заданной точке изменяется со временем.

Здесь показана действительная часть амплитуды. Частота колебаний пропорциональна энергии, которую должна была бы иметь частица, чтобы достичь заданной точки за время t.

Рассмотрим теперь временну'ю зависимость ядра, описывающего свободное движение. Предположим, что расстояние фиксировано, а время переменно. Изменение действительной части ядра (3.7) показано на фиг. 3.2, где вдоль оси времени переменны как частота, так и амплитуда колебаний.

Пусть время t так велико, что зависимостью амплитуды колебаний от t можно пренебречь. По определению период колебаний T равен времени, в течение которого фаза возрастает на 2 тогда

2=

mx^2

2ht

–

mx^2

2h(t+T)

=

mx^2

2ht^2

T

1+T/t

.

(3.13)

Введя угловую частоту =2/T и предположив, что t>>T, это выражение можно записать как

m

2h

x

t

^2

(3.14)

Так как величина m(x/t)^2/2 представляет собой классическую энергию свободной частицы, то это равенство утверждает, что

энергия=h.

(3.15)

Соотношение (3.15), равно как и связь между длиной волны и импульсом, справедливо в случае любого прибора, который можно адекватно описать на языке классической физики, и его, так же как соотношение (3.12), можно получить из более общих соображений.

В соответствии с выражением (3.11) любая вариация времени t_b в конечной точке приведёт к быстрым осцилляциям ядра. Частота этих осцилляций

=

1

h

S_кл

t

.

(3.16)

Величина S_кл/t в классическом рассмотрении интерпретируется как энергия E (см. задачу 2.5), и, следовательно,

=

E

h

.

(3.17)

Таким образом, понятия импульса и энергии переносятся в квантовую механику с помощью следующих правил:

1) если амплитуда вероятности изменяется как e^ikx, то говорят, что частица имеет импульс hk;

2) если эта амплитуда имеет определённую частоту, изменяясь с течением времени как e^{– it}, то говорят, что энергия равна h.

Мы только что показали, что эти правила согласуются с определением энергии и импульса в предельном классическом случае.

Задача 3.2. Покажите с помощью подстановки, что в случае свободной частицы, как только t_b превосходит t_a, ядро K(b,a) удовлетворяет дифференциальному уравнению

–

h

K(b,a)

=-

h^2

^2K(b,a)

t

t

_b

2m

x^2

_b

(3.18)

§ 2. Дифракция при прохождении через щель

Мысленный эксперимент. Физическая интерпретация квантовой механики и её связь с классической станут более понятными, если мы рассмотрим другой, немного более сложный пример. Предположим, что в момент времени t₀ частица выходит из начала координат, а спустя время T мы находим её в некоторой точке x₀. В классической механике мы говорили бы, что частица обладает скоростью v₀=x₀/T. При этом подразумевалось бы, что если частица будет продолжать двигаться дальше, то за время она пройдёт дополнительное расстояние v₀. Чтобы проанализировать это с точки зрения квантовой механики, попытаемся решить следующую задачу.