Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
[exp(-ax^2)]dx
или
[exp(-ax^2+bx)]dx.
Поскольку интеграл от функции Гаусса снова является такой же функцией, мы можем проинтегрировать по каждой из переменных и затем перейти к пределу. В результате получим
K(b,a)=
2ih(tb– ta)
m
– 1/2
exp
im(xb– xa)^2
2h(tb– ta)
.
(3.3)
Вычисления здесь выполнялись следующим образом. Прежде всего следует заметить, что
–
2ih
m
– 1/2
exp
m
2ih
[(x
2
– x
1
)^2+(x
1
– x
0
)^2]
dx
1
=
=
2ih·2
m
– 1/2
exp
m
2ih·2
(x
2
– x
0
)^2
.
(3.4)
Умножим это выражение на функцию
2ih
m
– 1/2
exp
m
2ih
(x
3
– x
2
)^2
(3.5)
и снова проинтегрируем, на этот раз по переменной x2; получим результат, совпадающий с правой частью равенства (3.4), если не считать того, что бином (x2– x0)^2 заменяется на (x3– x0)^2, а величина 2 в двух местах заменяется на 3:
2ih·3
m
– 1/2
exp
m
2ih·3
(x
3
– x
0
)^2
.
Таким образом мы можем построить рекуррентный процесс, который после (n-1)-го шага даёт функцию
2ihn
m
– 1/2
exp
m
2ih·n
(x
n
– x
0
)^2
.
Поскольку n=tn– t0, то легко видеть, что результат (N-1)-го шага совпадает с выражением (3.3).
Существует и другой метод вычисления. Можно воспользоваться соотношением (3.4), чтобы выполнить интегрирование по всем переменным xi с нечётным значением i (в предположении, что N чётное). Получим выражение, формально совпадающее с формулой (3.2), но содержащее вдвое меньше переменных интегрирования. Оставшиеся переменные определены в моменты времени, отделённые друг от друга интервалом 2. Следовательно, по крайней мере в случае, когда N можно представить как 2k, выражение (3.3) получается после k таких шагов.
Задача 3.1. Вероятность того, что частица попадёт в точку b, по определению пропорциональна квадрату модуля ядра K(b,a). В случае движения свободной частицы, для которого ядро определяется выражением (3.3), эта вероятность
P(b)dx=
m
2h(tb– ta)
dx.
(3.6)
Ясно, что это относительная вероятность, так как интеграл по всем значениям x расходится. Что означает этот способ нормировки? Покажите, что он соответствует некоторому классическому движению, когда частица выходит из точки a с импульсом, все значения которого равновероятны. Покажите, что соответствующая относительная вероятность того, что импульс частицы лежит в интервале dp, равна dp/2h.
Импульс и энергия. Выясним теперь смысл ядра, описывающего свободное движение частицы. Для удобства выберем в качестве начала отсчёта пространственных координат и времени точку a. Тогда амплитуда перехода в некоторую другую точку b(x,t) будет иметь вид
K(x,t,0,0)=
2iht
m
e
imx^2/2ht
– 1/2
.
Если момент фиксирован, то эта амплитуда изменяется с расстоянием так, как это показано на фиг. 3.1, где представлена действительная часть выражения (3.7).
Фиг. 3.1. Действительная часть амплитуды перехода в различные точки на расстоянии x от начала координат спустя время t.
Мнимая часть (не показана) представляет собой аналогичную волну, смещённую по фазе на 90°, так что модуль квадрата амплитуды — постоянная величина. Длина волны мала при больших x т.е. при таких значениях, которые классическая частица может достичь, лишь если она движется с большой скоростью. В общем случае длина волны и классический импульс обратно пропорциональны друг другу (см. формулу (3.10)].
Мы видим, что по мере удаления от начала координат осцилляции становятся все более и более частыми. Если x настолько велико, что произошло уже много таких осцилляций, то расстояние между соседними узлами почти постоянно, по крайней мере для нескольких ближайших осцилляций. Другими словами, амплитуда ведёт себя как синусоида с медленно меняющейся длиной волны . Представляет интерес вычислить эту длину волны. При изменении x на длину волны фаза амплитуды должна увеличиться на 2. Отсюда следует, что
2=
m(x+)^2
2ht
–
mx^2
2ht
=
mx
ht
+
m^2
2ht
.
(3.8)
Пренебрегая величиной ^2 по сравнению с x (т.е. предположив, что x>>, получаем
=
2h
m(x/t)
.
(3.9)
С точки зрения классической физики частица, переместившаяся из начала координат в точку x за время t, имеет скорость x/t и импульс mx/t. Когда в квантовой механике движение частицы можно адекватно описать классическим импульсом p=mx/t, соответствующая амплитуда вероятности изменяется в пространстве синусоидально и длина волны её колебаний равна