Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
=
x-v0+b(1+/T)
(h/m)(1+/T)
(3.41)
а C(u) и S(u) — действительная и мнимая части интегралов Френеля. Первый множитель в этом распределении в точности совпадает с распределением вероятности для свободной частицы, задаваемым выражением (2.6). Остальная часть содержит некоторую комбинацию действительной и мнимой частей интегралов Френеля 1). Именно эта часть ответственна за многообразие кривых, изображённых на фиг. 3.6.
1) См. [3], стр. 125.— Прим. ред.
Таким образом, результаты для обеих щелей в общих чертах одинаковы.
Движение частицы сквозь щель рассматривалось нами так, как если бы оно состояло из двух отдельных движений: сначала частица движется к щели, а затем от щели до точки наблюдения. В области щели движение как бы расчленяется. Может возникнуть вопрос, как при таком «разделяющемся на части» движении частица «помнит» свою скорость и в основном сохраняет направление движения, предписываемое классической физикой? Или, другими словами, каким образом уменьшение ширины щели вызывает «потерю памяти», до тех пор пока в пределе все скорости частицы не станут равновероятными?
Чтобы понять это, исследуем амплитуду, описывающую движение к щели. Она в точности равна амплитуде вероятности для свободной частицы, определяемой выражением (3.3), где xa=ta=0, xb=x0+y и tb=T. При смещении поперёк щели (меняется y) обе части амплитуды, действительная и мнимая, изменяются синусоидально. Как мы уже видели, длина волны этих синусоидальных колебаний тесно связана с импульсом [см. формулу (3.10)]. Последующее движение частицы является, как и в оптике, результатом интерференции этих волн. Эта интерференция конструктивна (т.е. усиливает волны) в основном направлении, предписываемом классической механикой, и, вообще говоря, деструктивна (т.е. гасит их) в других направлениях.
Если на ширине щели укладывается большое число волн, т.е. щель очень широкая, то в результате интерференции возникает довольно острый пик и движение становится почти классическим. Предположим, однако, что щель сделана чрезвычайно узкой и на её ширине не укладывается даже одна волна. Тогда не будет никаких осцилляций, которые приводили бы к интерференции, и информация о скорости частицы теряется. Поэтому в пределе, когда ширина щели стремится к нулю, все скорости частицы становятся равновероятными.
§ 4. Волновая функция
Мы уже построили амплитуду вероятности того, что частица достигнет некоторой определённой точки пространства и времени, тщательно прослеживая её движение, в результате которого она попадает в эту точку. Однако часто бывает полезно рассматривать амплитуду перехода в точку пространства без всякого обсуждения предшествующего движения. Поэтому будем обозначать через (x,t) полную амплитуду вероятности перехода в точку (x,t) из некоторого (возможно, неопределённого) прошлого. Такая амплитуда обладает теми же самыми вероятностными свойствами, что и изученные уже нами амплитуды, т.е. вероятность найти частицу в точке x в момент времени t равна |(x,t)|^2 . Эту разновидность амплитуды будем называть волновой функцией. Различие между этой амплитудой и изученными ранее заключается лишь в способе обозначения. Каждому часто приходится слышать: система находится в «состоянии» . Это лишь выражение другими словами того, что система описывается волновой функцией .
Таким образом, ядро K(x2,t2;x1,t1) = (x2t2) фактически представляет собой волновую функцию. Это ядро есть амплитуда вероятности попасть в точку (x2t2). Запись K(x2,t2;x1,t1) содержит больше информации, в частности, указывает, что эта амплитуда соответствует конкретному случаю, когда частица приходит из точки (x1,t1). Возможно, для некоторых задач такая информация не представляет интереса, так что сохранять её нет смысла. Тогда мы будем применять для волновой функции обозначение (x2,t2).
Так как волновая функция является амплитудой, она удовлетворяет правилам, по которым складываются амплитуды последовательных во времени событий. Так, поскольку соотношение (2.31) справедливо для любых точек (x1,t1), волновая функция удовлетворяет интегральному уравнению
(x
2
,t
2
)=
–
K(x
2
,t
2
;x
3
,t
3
)
(x
3
,t
3
)
dx
3
.
(3.42)
Этот результат можно сформулировать на физическом языке. Полная амплитуда перехода в точку (x2,t2) [т.е. (x2,t2)] представляет собой сумму, или интеграл, по всем возможным значениям x3 от произведения полной амплитуды перехода в точку (x3,t3)[т.е. (x3,t3)] на амплитуду перехода из точки 3 в точку 2 [т.е. K(x2,t2;x3,t3)]. Это означает, что влияние всей предыдущей истории частицы может быть выражено всего лишь через одну функцию. Даже если бы мы забыли все, что знали о частице, кроме её волновой функции в некоторый определённый момент времени, тем не менее могли бы предсказать все, что будет происходить с этой частицей в дальнейшем. Влияние всей предыдущей истории на будущее Вселенной могло бы быть получено из одной всеобъемлющей волновой функции.
Задача 3.4. Пусть в момент времени t=0 свободная частица имеет некоторый определённый импульс [т.е. её волновая функция равна C exp (ipx/h)]. Покажите с помощью соотношений (3.3) и (3.42), что в некоторый более поздний момент времени частица имеет тот же импульс [т.е. что волновая функция зависит от x через экспоненту exp (ipx/h)] и изменяется в зависимости от времени как exp [(-ip^2/2mh]. Это означает, что частица обладает определённой энергией p^2/2m.
Задача 3.5. Используя результаты решения задачи (3.2) и соотношение (3.42), покажите, что волновая функция удовлетворяет уравнению
–
h
i
t
=-
h^2
2m
^2
x^2
(3.43)
которое является уравнением Шрёдингера для случая свободной частицы.
§ 5. Интегралы Гаусса
Мы закончили физическую часть данной главы и перейдём теперь к математическим вопросам. Введём дополнительный математический аппарат, который в некоторых случаях поможет нам вычислить сумму по траектории.