Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
1) См. работу[4].
Предположим, что система имеет несколько степеней свободы. Ядро, соответствующее такой системе, можно представить в виде (2.25), где символ x(t) обозначает сейчас не одну, а сразу несколько координат.
В качестве первого примера мы рассмотрим трёхмерное движение частицы, когда траектория определяется тремя функциями x(t), y(t) и z(t). В частности, для свободной частицы действие равно
m
2
tb
ta
[x(t)^2+
y(t)^2+
z(t)^2]
dt.
Ядро, описывающее переход из некоторой начальной точки (xa, ya, za) в момент времени ta в конечную точку (xb, yb, zb) и момент времени ta,
K(
x
b
, y
b
, z
b
, t
b
;
x
a
, y
a
, z
a
, t
a
)=
=
b
a
exp
i
h
tb
ta
m
2
(x^2+
y^2+
z^2)
dt
Dx(t)Dy(t)Dz(t).
(3.69)
Дифференциал здесь записан в виде Dx(t)Dy(t)Dz(t). Если время разделено на промежутки , то положение частицы в момент времени ti задаётся тремя переменными xi, yi, zi и интеграл по переменным dxi, dyi, dzi для каждого значения i имеет вид, аналогичный выражению (2.22). (Если представлять положение частицы вектором r в некотором s-мерном пространстве, то дифференциал в каждой точке равен элементу объёма dvi или dsri, и произведение дифференциалов для каждого i мы можем записать в более общем виде Dsri.
Если используется определение (2.22), то в каждом временном интервале для каждой из переменных должен быть введён нормировочный множитель A [см. формулу (2.21)]. Поэтому если весь интервал времени разделён на N промежутков длительностью , то в интеграл должен быть включён множитель A– 3N.
Ещё один пример ситуации с несколькими переменными дают две взаимодействующие системы. Предположим, что одна система представляет собой частицу массой m, координата которой x, а другая система — частицу массой M и с координатой X. Допустим, что эти две системы взаимодействуют посредством потенциала V(x,X). Действие в этом случае равно
S[x(t),X(t)]=
tb
ta
m
2
x^2+
M
2
X^2-
V(x,X)
dt,
(3.70)
так что ядро имеет вид
K(
x
b
, X
b
, t
b
;
x
a
, X
a
, t
a
)=
=
b
a
b
a
exp
i
h
S[x(t),X(t)]
Dx(t)DX(t).
(3.71)
Это обобщение соотношения (2.25) можно истолковать математически как движение точки в некотором абстрактном двумерном пространстве x, X. Однако значительно легче представлять это движение физически, рассматривая его как движение двух отдельных частиц, координаты которых соответственно x и X. Тогда K является ядром для перехода частицы массы m из пространственно-временной точки (xa,ta) в точку (xb,tb) и частицы массы M из точки (Xa,ta) в точку (Xb,tb). Ядро K равно в этом случае сумме амплитуд вероятности, взятой по всем возможным траекториям обеих частиц между соответствующими конечными точками. Амплитуда вероятности, отвечающая какой-либо частной комбинации траекторий (т.е. определённым x и X), равна экспоненте eiS/h, где S — действие, определяемое выражением (3.70). С математической точки зрения амплитуда вероятности представляет собой функционал от двух независимых переменных x и X, и интеграл берётся по обеим этим функциям.
§ 8. Системы с разделяющимися переменными
Допустим, что у нас имеются две частицы, которые движутся в одном или, быть может, нескольких измерениях. Пусть вектор x — совокупность координат одной частицы, а вектор X — совокупность координат другой (все, как и в предыдущем параграфе, с той лишь разницей, что описание переносится теперь на трёхмерное пространство). Может оказаться, что полное действие разбивается на две части:
S[x,X]=
S
x
[x]+
S
X
[X],
(3.72)
где в Sx входят только траектории x(t), а в SX — только траектории X(t). Это и есть тот случай, когда две частицы не взаимодействуют.
При этом ядро становится произведением двух сомножителей: одного, зависящего только от x, и другого, зависящего только от X:
K(
x
b
, X
b
, t
b
;
x
a
, X
a
, t
a
)=
=
b
a
b
a
exp
i
h
{S
x
[x]+S
X
[X]}
D^3x(t)D^3X(t)=
=
b
a
exp
i
h
S
x
[x]
Dx(t)
b
a
exp
i
h
S
X
[X]
DX(t)=
=
K
x
(
x
b
, t
b
;
x
a
, t
a
)
K
X