Квантовая механика и интегралы по траекториям

Фейнман Ричард Филлипс

Задача 3.8. Лагранжиан гармонического осциллятора

L=

m

2

x^2-

m^2

2

x^2.

(3.58)

Покажите, что соответствующее ядро равно

K=F(T)=

im

2h sin T

[(x

₂

^a

+x

₂

^b

) cos T-2x

_a

x

_b

]

,

(3.59)

где T=t_b– t_a (см. задачу 2.2). Отметим, что вид функции F(T) полностью не определяется. Его можно найти, исходя из других соображений; в случае гармонического осциллятора он равен

F(T)=

m

2ih sin T

1/2

.

(3.60)

Задача 3.9. Найдите ядро для частицы во внешнем постоянном поле f, где её лагранжиан равен

L=

m

2

x^2+fx.

(3.61)

Результат имеет вид

K=

m

2ihT

1/2

exp

i

h

m(x_b– x_a)^2

2T

+ 1/2 fT(x

_a

+x

_b

)-

fT^3

24

,

(3.62)

где T=t_b– t_a.

Задача 3.10. Лагранжиан для частицы с зарядом e и массой m в постоянном внешнем магнитном поле B, направленном по оси z,

L=

m

2

(x^2+y^2+z^2)+

eB

2c

(xy-yx).

(3.63)

Покажите, что соответствующее ядро имеет вид

K=

m

2ihT

³/₂

T/2

sin T/2

exp

im

2h

(z_b– z_a)^2

T

+

+

2

ctg

T

2

[(x

_b

– x

_a

)^2+

(y

_b

– y

_a

)^2]+

(x

_a

y

_b

–

x

_b

y

_a

)

,

(3.64)

где T=t_b– t_a и =eB/mc.

Задача 3.11. Предположим, что гармонический осциллятор в задаче 3.8 возмущается внешней силой f(t). Его лагранжиан

L=

m

2

x^2-

m^2

2

x^2+

f(t)x.

(3.65)

Покажите, что ядро определяется выражением

K=

m

2ih sin T

1/2

exp

i

h

S

_кл

,

где

S

_кл

=

m

2 sin T

(cos T)(x

₂

^b

+x

₂

^a

)-2x

_b

x

_a

+

+

2x_b

m

t_b

t_a

f(t) sin (t-t

_a

)dt+

2x_a

m

t_b

t_a

f(t) sin (t

_b

– t)dt-

–

2

m^2^2

t_b

t_a

t

t_a

f(t)f(s) sin

(t

_b

– t) sin

(s-t

_a

)

dsdt

(3.66)

и T=t_b– t_a.

Последний результат имеет большое значение для многих прикладных задач. В частности, он находит своё применение в квантовой электродинамике, так как электромагнитное поле может быть представлено в виде набора возмущаемых гармонических осцилляторов.

Задача 3.12. Если волновая функция гармонического осциллятора при t=0

(x,0)=exp

–

m

2h

(x-a)^2

,

(3.67)

то, используя соотношение (3.42) и результаты задачи 3.8, покажите, что

(x,t)=exp

–

iT

2

–

m

2h

x^2-2axe

^{– iT}

+ 1/2 a^2(1+e

^{– 2iT}

)

(3.68)

и найдите распределение вероятности ||^2.

§ 7. Системы с многими переменными ¹)