Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
В момент времени t0 частица выходит из начала координат x0. Пусть нам известно, что спустя время T она находится в окрестности x0±b точки x0. Спрашивается, какова вероятность обнаружить частицу ещё через время на расстоянии x от точки x0? Амплитуду перехода в точку x в момент времени t+ можно рассматривать как сумму вкладов от всех траекторий, соединяющих начало координат с конечной точкой, при условии, что в момент времени T соответствующие траектории лежат в интервале x0±b.
Эта амплитуда вычисляется очень быстро, однако стоит сначала разобрать, какого сорта эксперимент мы здесь рассматриваем. Каким образом можно узнать, что данная частица проходит в пределах ±b от точки x0? Можно посмотреть, как обычно, находится ли частица в момент времени T в интервале x0±b. Это был бы наиболее естественный способ, однако вследствие сложного взаимодействия электрона с прибором детальный анализ его является (по сравнению с другими возможностями) несколько затруднительным.
Фиг. 3.3. Движение частицы сквозь щель.
Известно, что частица, выходящая в момент времени t=0 из точки x=0, проходит между точками x0– b и x0+b в момент времени t=T.
Мы хотим вычислить вероятность нахождения частицы в некоторой точке x спустя время , т.е. когда t=T+. Согласно классическим законам, частица должна находиться между x0(/T)+b(1+/T) и x0(/T)-b(1+/T), т.е. внутри ортогональной проекции щели. Однако квантовомеханические законы показывают, что частица может с отличной от нуля вероятностью находиться и вне этих классических пределов.
Эту задачу нельзя решать, применяя лишь закон движения для свободной частицы, так как щель ограничивает движение частицы. Поэтому разобьём задачу на две — соответственно двум последовательным движениям свободной частицы: в первой задаче рассматривается движение частицы из точки x=0 при t=0 в точку x=x0+y при t=T, где |y|<=b; во второй — движение из точки x0+y при t=T в точку x при t=T+. Полная амплитуда вероятности, как это видно из формулы (3.19), равна интегралу от произведения ядер для двух таких движений свободной частицы.
Предположим, что в момент времени T нами просматривается, скажем, с помощью яркого света, вся ось x за исключением интервала x0±b. Как только частица обнаружена, мы прерываем опыт. Примем во внимание лишь те случаи, когда полное обследование всей оси, за исключением интервала x0±b, показывает, что нигде нет ни одной частицы, т.е. исключены все траектории, проходящие за пределами интервала x0±b. Схема эксперимента приведена на фиг. 3.3. Амплитуду теперь можно написать в виде
(x)=
b
– b
K(x+x
0
,T+;x
0
+y,T)
K(x
0
+y,T;0,0)dy.
(3.19)
Это выражение записано в соответствии с правилом сложения амплитуд для последовательных во времени событий. Событие первое — частица движется от начала координат до щели. Событие второе — дальнейшее движение частицы от щели до точки x. Щель имеет конечную ширину, и прохождение через каждую её точку связано с различными альтернативными возможностями; поэтому мы должны интегрировать по всей ширине щели. Частицы, которые минуют эту щель, выбывают из эксперимента, и их амплитуды в сумму не войдут. Все частицы, которые проходят через щель, движутся как свободные, и соответствующие им ядра задаются выражением (3.3). Амплитуда вероятности имеет, таким образом, вид
(x)=
b
– b
2ih
m
– 1/2
exp
im(x-y)^2
2h
2ihT
m
– 1/2
x
x
exp
im(x0+y)^2
2hT
dy.
(3.20)
Этот интеграл можно выразить через интегралы Френеля. В таком представлении уже содержатся физические результаты (которые мы обсудим ниже), но они не наглядны из-за математической сложности интегралов Френеля. Чтобы не затемнять математикой физический смысл результатов, мы получим другую, но аналогичную формулу, которая приведёт нас к более простым математическим выражениям.
Гауссова щель. Введём в подынтегральное выражение в качестве вспомогательного множителя функцию G(y). Если положить эту функцию равной единице в интервале -b<=y<=+b и равной нулю всюду вне его, то пределы интегрирования можно раздвинуть до бесконечности без изменения результата. Тогда
(x)=
–
mG(y)
2ihT
exp
im
2h
(x-y)^2
+
(x0– y)^2
T
dy,
(3.21)
где
G(y)=
1 для -b<=y<=b,
0 для |y|>b.
Допустим теперь, что в качестве G(y) взята функция Гаусса
G(y)=e
– y^2/2b^2
.
(3.22)
Эта функция имеет вид, указанный на фиг. 3.4; эффективная ширина кривой связана с параметром b. Для такой функции приблизительно две трети всей площади под ней лежат между точками -b и +b.
Фиг.3.4. Вид гауссовой функции G(y)=e– y^2/2b^2.
Форма кривой та же самая, что и у нормального распределения со стандартным отклонением, равным b.
Мы не знаем, каким образом можно было бы технически осуществить такую гауссову щель для реализации нашего мысленного эксперимента. Однако здесь нет принципиальной трудности: просто налицо ситуация, когда в момент времени T частицы распределены вдоль оси x с относительной амплитудой вероятности, пропорциональной функции G(y) (относительная вероятность пропорциональна [G(y)]^2). Если бы частицы двигались классическим образом, то мы ожидали бы, что по истечении времени T они будут распределены вдоль оси x так же, как и раньше, но с новым центром распределения на расстоянии x1 от точки x0 и с большей шириной b1 определяемыми равенствами